Diagonalisation

[Besteur]

Bonjour,

Dans mon cours, il est écrit que la matrice M de M2(R) tel que M=

est diagonalisable car elle a 2 valeurs propres et que dimE=2
Mais je ne comprends pas pourquoi ici dimE=2.

Merci d'avance pour votre aide.
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[Tryss2]

Bah, c'est une matrice 2x2, donc ça représente une application linéaire d'un espace de dimension 2 vers un espace de dimension 2 non?

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir,

Si E est l'espace des images de M et si les deux valeurs propres sont différentes, alors , où est l'espace propre de valeur propre

Bah, c'est une matrice 2x2, donc ça représente une application linéaire d'un espace de dimension 2 vers un espace de dimension 2 non?

Pas forcément Tryss2. Prenez par exemple l'application linéaire dont la représentation matricielle correspondante est .

[Amanuensis]

Pas forcément Tryss2. Prenez par exemple l'application linéaire dont la représentation matricielle correspondante est .

Et alors?......

[A voir en vidéo sur Futura]

[pm42]

Et alors?......

L'espace d'arrivée n'est pas de dimension 1 dans ce cas ?

[Paraboloide_Hyperbolique]

L'espace d'arrivée n'est pas de dimension 1 dans ce cas ?

C'est ce qu'il me semble (la dimension de l'image de l'application linéaire que j'ai donnée est de dimension 1). A moins que Tryss2 ne parlait pas de l'image...

Quoiqu'il en soit, j'ai surtout fait cette remarque pour que Besteur évite de conclure que: "matrice de dimension n --> image de l'application correspondante de dimension n".

[Amanuensis]

SI je comprends bien il serait proposé que "E", qui n'est pas défini dans le message #1, serait l'image de la fonction linéaire représentée par M? Pourquoi ne pas interpréter M comme la représentation d'une fonction de E vers E? C'est ce que fait Tryss il me semble, et c'est naturel quand on parle de diagonalisation et de valeurs propres.

[Au passage, on pourrait poser l'exercice message #1 avec ]

[pm42]

Oui. Si on suppose que dim E n'est pas le dimension de l'espace d'arrivée mais qu'on parle d'une application de E vers E, dire "elle est diagonalisable parce que dim E = 2" n'a pas de sens.
Puisque dans ce cas, on aurait tjs dim E = dim de l'espace de départ et on en déduirait que toutes les matrices sont diagonalisables.

[Médiat]

Pas forcément Tryss2. Prenez par exemple l'application linéaire dont la représentation matricielle correspondante est .

Bonjour,

La représentation matricielle de est .

La matrice est la (une) matrice de

[interferences]

Bonsoir,

Désolé si fous le bazar (ça fais longtemps que j'ai pas fait d'algèbre linéaire, quelques rappels ne me feraient sans doute pas de mal mais...).

Quelques remarques :

@ Paraboloide : Ta matrice n'est pas inversible mais elle est diagonalisable.
Il y a 2 valeurs propres 0 vec.p (-1,1) et 1 vec.p (1,0) avec des vecteurs propres qui forment une base.
Du coup j'ai un pb avec ta première phrase, car la somme des dimensions des espaces propres n'est pas égal à la dimension de l'espace des images.
L'endomorphisme associé est diagonalisable mais ce n'est pas un isomorphisme <=> Pas automorphisme.

Sinon la condition énoncé par besteur est suffisante.
En effet, si il existe 2 valeurs propres différentes et que l'endomorphisme associé à la matrice est de dimension 2 alors elle est diagonalisable.
Tryss2 a raison c'est parce que c'est une matrice 2x2.
La dimension de l'ensemble d'arrivée associée est 2 (même si la dimension de l'espace des images peut être moindre).

Attention de ne pas confondre ensemble d'arrivée et ensemble des images.

Bon je répète un peu ce que tout le monde a dit à priori ^^'

[Paraboloide_Hyperbolique]

SI je comprends bien il serait proposé que "E", qui n'est pas défini dans le message #1, serait l'image de la fonction linéaire représentée par M? Pourquoi ne pas interpréter M comme la représentation d'une fonction de E vers E? C'est ce que fait Tryss il me semble, et c'est naturel quand on parle de diagonalisation et de valeurs propres.

On pourrait en effet le voir ainsi, dépendant de la manière dont E est défini. Sans énoncé complet il est difficile de se prononcer.

[interferences]

Mais ta proposition reste fausse.

[Paraboloide_Hyperbolique]

En effet, Mediat a corrigé...

[interferences]

Je ne parle pas du fait que l'application considérée n'est pas un endomorphisme.

Je parle de ton égalité :
La dimension de l'espace des images n'est pas égal à la somme des dim des espaces propres.

Si on considère ton endomorphisme (matrice) c'est d'ailleurs très clair. (1!=2)

[Paraboloide_Hyperbolique]

Oulàlà, oui. Je devais être endormi. Décidément mon message initial est un