produit de bornes

[invite03ef28af]

Bonsoir,
je suis face a mon exercice depuis des heures mais je n'arrive pas a la moindre chose, voici mon probleme:

Soit A et B deux parties non vides et majorées de R + * ; AB={x dans R; il existe (a,b)dans A*B x=ab}
Je devais tout d'abord montrer que

sup (AB) <= Sup (A) * Sup (B)

jusque la tout va bien rien de bien compliqué, mais voila je dois a present montrer que :

Sup (A) * Sup (B) <= Sup (AB)


j'ai beau essayer toute les inégalités possibles et inimaginable je ne vois pas comment y arriver, ce qui doit pourtant etre sorcier
Merci de votre aide
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[Resartus]

Bonjour,
On peut trouver x aussi proche de sup(A) et y aussi proche de Sup(B) qu'on veut, et xy qui appartient à AB est aussi proche de Sup(A)* Sup(B) qu'on veut, et est majoré par Sup(AB)

[invite03ef28af]

merci de votre réponse, devrais-je utiliser le critére avec des epsilons pour montrer ca ? ou un jeu d'arguments et d'inegaités suffit ?

[Resartus]

Bonjour,
comme A et B peuvent très bien être ouverts à droite, il me semble nécessaire de revenir aux définitions de Sup en les écrivant soigneusement avec les quantificateurs "quivontbien"....
Peut-être y a-t-il d'autres méthodes plus synthétiques, mais elles ne me viennent pas à l'esprit...

[A voir en vidéo sur Futura]