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Inverse D´une Matrice À Coefs Entiers



  1. #1
    christophe_de_Berlin

    Inverse D´une Matrice À Coefs Entiers


    ------

    Bonjour, j´ai la question suivante.

    J´ai une matrice 4x4 à coeffs réels entiers, dont le déterminant est 1.

    Il s´agit de prouver que la matrice inverse a elle-même des coeffs entiers.

    J´aimerais prouver que pour toute matrice carrée M, chaque coef de 1/M est combinaison linéaire des coeffs de M divisé par le déterminant, en l´occurence 1.

    pour les matrices d´ordre 2, c´est évident, mais pour le reste...

    -----

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  4. #2
    martini_bird

    Re : Inverse D´une Matrice À Coefs Entiers

    Salut,

    c'est peut-être une des rares fois où les formules de Cramer sont utiles.

    Cordialement.

    EDIT : sinon, tu as est la matrice des cofacteurs.
    Dernière modification par martini_bird ; 22/04/2006 à 12h48.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  5. #3
    christophe_de_Berlin

    Re : Inverse D´une Matrice À Coefs Entiers

    merci, je vais d´abord voir ce que c´est, ces formules de cramer

  6. #4
    Gwyddon

    Re : Inverse D´une Matrice À Coefs Entiers

    Mieux vaut utiliser la formule théorique dans ce cas, cela donne même l'équivalence entre "M est une matrice entière inversible" et "M, matrice entière, a un déterminant égal à 1"

    @+

    Julien
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    GuYem

    Re : Inverse D´une Matrice À Coefs Entiers

    Citation Envoyé par 09Jul85
    Mieux vaut utiliser la formule théorique dans ce cas, cela donne même l'équivalence entre "M est une matrice entière inversible" et "M, matrice entière, a un déterminant égal à 1"

    @+

    Julien

    Disons +/-1 pour être précis.

    Je crois qu'ici il faut se rappeler l'identité fondamentale

    M*transposé(comatrice(M)) = Det(M)*Id

    comme l'a dit Martini
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  9. #6
    Gwyddon

    Re : Inverse D´une Matrice À Coefs Entiers

    =1 en valeur absolue

    Merci pour la rectification de l'étourderie
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

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  11. #7
    GuYem

    Re : Inverse D´une Matrice À Coefs Entiers

    Citation Envoyé par 09Jul85
    =1 en valeur absolue

    Merci pour la rectification de l'étourderie
    Il est plus judicieux de dire "inversible dans Z".
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  12. #8
    christophe_de_Berlin

    Re : Inverse D´une Matrice À Coefs Entiers

    Une question en passant:

    On sait que le déterminant d´une matrice orthogonale est 1 ou -1.

    Mais la réciproque est fausse, non?

    c´est-à-dire: Une matrice dont le déterminant est 1 ou -1 n´est pas nécessairement orthogonale.

    Quelqu´un peut-il confirmer ou rectifier?

  13. #9
    GuYem

    Re : Inverse D´une Matrice À Coefs Entiers

    La réciproque est fausse en effet.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  14. #10
    martini_bird

    Re : Inverse D´une Matrice À Coefs Entiers

    Salut,

    un contre-exemple : .

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  15. #11
    christophe_de_Berlin

    Re : Inverse D´une Matrice À Coefs Entiers

    bon merci, c´est déjà ça

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