Théorie des représentations / Action des groupes.

[invitecbade190]

Bonsoir à tous,

Connaissez vous cette proposition qui affirme que si on a une action d'un groupe sur un ensemble ou une représentation : tel que l'espace des orbites est isomorphe à l'espace des invariants ( i.e : ) ? Si oui, dans quel cours je peux trouver ça sur le net ?

Merci d'avance.
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[invite5357f325]

La question n'a pas de sens. Ceci dit tu peux regarder le chapitre 5 de Mukai, An Introduction to Invariant and Moduli.

[invitecbade190]

Pardon petrifie, je me suis mal exprimé en français. Je corrige :


Connaissez vous cette proposition qui affirme que si on a une action d'un groupe sur un ensemble ou une représentation : , alors, l'espace des orbites est en bijection avec : à l'espace des invariants ( i.e : ) ? Si oui, dans quel cours je peux trouver ça sur le net ?

Merci d'avance.

edit : D'accord, je vais jeter un oeil sur le livre que tu mentionnes petrifie : le chapitre 5 de Mukai, An Introduction to Invariant and Moduli. Merci.

[invite5357f325]

Encore une fois ça n'a pas de sens : la grammaire est correcte maintenant, mais il y a toujours un problème. Quelle est ta définition de l'espace des invariants X^G ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecbade190]

Encore une fois ça n'a pas de sens : la grammaire est correcte maintenant, mais il y a toujours un problème. Quelle est ta définition de l'espace des invariants X^G ?

Pardon,

[invitecbade190]

petrifie, peux tu stp m'expliquer pourquoi ça n'a pas de sens, et comment corriger l'énoncé que j'ai écrit ?
Merci infiniment.

[invitecbade190]

Par exemple, ici : https://fenix.tecnico.ulisboa.pt/dow...issertacao.pdf , page : , on parle de l'unique factorisation du morphisme par le morphisme : , mais je n'arrive pas à comprendre ce paragraphe, il dit : tout morphisme : invariant sous l'action du groupe , a une unique factorisation par : ? Qu'est ce que ça veut dire que : est invariant sous l'action du groupe dans cette page ?

Merci d'avance.

[invite5357f325]

Prenons Z qui agit sur R. Quel serait le bon candidat pour l'espace quotient R/Z ? Quel sont les points fixes de cette action ? Conclusion ?
De même ici : on a une action de G sur X. Quel serait la notion naturelle d'invariance par l'action de G ?

[invitecbade190]

Bonjour petrifie :

Prenons Z qui agit sur R. Quel serait le bon candidat pour l'espace quotient R/Z ? Quel sont les points fixes de cette action ? Conclusion ?

J'ai oublié comment on fait à ça. Je pense que l'action c'est : et , non ? et , non ? Conclusion : .

De même ici : on a une action de G sur X. Quel serait la notion naturelle d'invariance par l'action de G ?

Je ne sais pas. Je t'ai dit ce que je pense. Pour moi : .

[invite5357f325]

Voilà, tu vois donc que les points fixes d'une action ne sont pas suffisant pour décrire l'espace des orbites. Tu semble confondre points invariants et fonctions invariantes. Sous certaines conditions (cf chapitre 5 Mukai) on peut récupérer l'espace des orbites à partir des fonctions polynomiales invariantes quand X est une variété algébrique.
Pour la deuxième ligne, je parlais de l'invariance de f : X -> Z. On veut que f(g.x) = f(x), i.e que f soit constante sur les orbites.

[invitecbade190]

Merci petrifie. Hier, j'ai commencé la lecture du chapitre 5 Mukai, mais j'ai pas eu envie de continuer, car il dit que : , mais, il ne précise pas pourquoi, je vais relire ce chapitre à tête reposé ce soir, et le comparer à ta phrase qui dit : on peut récupérer l'espace des orbites à partir des fonctions polynomiales invariantes quand est une variété algébrique. Le livre est très intéressant, c'est la première que je le découvre. Merci.
Cordialement.