Somme sur les Symbole de Legendre

[invite66d75f15]

Bonjour,
J'ai un souci sur un exercice; j'ai réussi les premières questions, j'ai donc démontré (entre autres) que:
ax²+by² =c [p] admet des solutions (avec a,b dans Z, p premier impair et (a,p)=(b,p)=1)
La somme de n=1 à p-1 des symboles de Legendre (n/p) vaut 0

On me demande alors de démontrer que:
et là je n'y arrive pas. J'ai essayé pas mal de trucs, notamment le fait que la somme soit "symétrique":

De même on a:

etc..
Donc à part le terme "central" de la somme, les autres sont deux à deux égaux. j'ai donc calculé le terme central:

or
D'où
et donc le terme central vaut:


Et donc j'ai écrit:


Mais je n'arrive pas à conclure. J'ai aussi essayé d'écrire la somme différemment, mais à chaque fois ça ne me mène à rien.

Enfin, la dernière question utilise clairement celle-ci, puisque je dois démontrer que le nombre de paires (n,n+1) où n et n+1 sont tous les deux des carrés (résidus quadratiques) modulo p est
J'ai voulu décomposer la somme précédente de cette façon:

sachant que la première et la dernière valent 1*(cardinal de l'ensemble) et les deux centrales valent (-1)*(cardinal de l'ensemble)
Le problème étant que je dois trouver le cardinal des trois premières sommes pour déterminer celui de la dernière...et je n'y arrive pas.


Si quelqu'un a une idée, un indice ou quoi que ce soit....
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[invite66d75f15]

Help?
J'ai réussi la première partie, finalement. Il ne me reste plus qu'à faire le lien entre cette somme et le nombre de paires de carrés.
Je suis partie sur l'étude de la somme
L'idée est de la séparer en 4 ensembles: A={n et n+1 sont des carrés}, B={n et carré mais pas n+1} C={n+1 est carré mais pas n} et D={n et n+1 ne sont pas des carrés}
En théorie, ces 4 ensembles reprennent bien tous les termes de ma somme (n variant entre 1 et p-1).
Et alors, la somme sur A vaut 4xcardinal(A) (ce que l'on cherche), tandis que la somme sur B, C, et D est nulle (car à chaque fois un des symbole de legendre vaut -1, ce qui fait une multiplication par 0)
Or la somme écrit plus haut vaut p-1 (il suffit de développer le terme et découper en 4 sommes, deux d'entre elles sont nulles, la première vaut p et la dernière -1 d'après la question précédente).
Je me retrouve donc avec 4|A|=p-1, ce qui n'est pas le résultat demandé....

Une idée? J'ai fait une bourde quelque part?

[invite66d75f15]

Après avoir refait 4 fois les calculs, j'ai finalement trouvé le bon résultat.
L'erreur se cachait dans l'indexation de la somme: j'ai eu tendance à négliger les termes en 0 et p-1 parce que (0/p)=0 et (p/p)=0, mais entre les n et les n+1 certains termes survivent...

Si ça peut aider les suivants