Bonjour,
Voilà je cherche à faire une décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle suivante :
(2x-1)/(X^7-4X^5+x^3-x^2+4x+5)
Pour cela d'après mon cours il s'agit de factoriser le polynôme Q(x) au dénominateur tout d'abord sous la forme (x-a1)^p1+(x-a2)^p2+...+(x-an)^pn ou a sont les racines du polynôme et p les ordres de multiplicité des racines.
Cela dit, je n'ai aucune idée de comment factoriser le polynôme au dénominateur !
Merci d'avance !
Bonsoir.
"Pour cela d'après mon cours il s'agit de factoriser le polynôme Q(x) au dénominateur tout d'abord sous la forme (x-a1)^p1+(x-a2)^p2+...+(x-an)^pn"
Ah non, ceci n'est pas factorisé, c'est une somme.
C'est :
A priori, on factorise très mal, dansles polynômes de degré 4, même certains de degré 3, et les polynômes de degré 5 ou plus.
De plus, X^7-4X^5+x^3-x^2+4x+5 est un polynôme à deux variables x et X !! Mais même en rectifiant, je ne vois pas de factorisation évidente. Il semble n'y avoir que trois racines, et pas très sympa !
Si ton dénominateur est arrivé à la suite d'un calcul, revois à quels endroits tu aurais pu le factoriser.
Cordialement.
Bonsoir.
Oui, mon post contient effectivement nombre d'erreurs.
La formule est bien : (x-a1)^p1x(x-a2)^p2x...x(x-an)^pn Je ne sais pas comment j'ai laissé passé une telle coquille puisqu'il s'agit de factoriser de toute manière.
Il n'y a qu'une seule variable, ça je l'ai bien vu mais je ne pouvais pas éditer.
En fait, en général je ne sais pas factoriser les polynômes, quelle méthode(s) faut il employer ? J'ai également des polynômes de degré 3 et de degré 4 sur les bras. Un polynôme de degré 6 aussi.
Le polynôme ici cité est arrivé suite à un calcul entre deux fractions, en effet.
Pour les polynômes de degré 3 ou 4, tu peux trouver des méthodes sur le net. Mais pour une factorisation dans R, elles ne fonctionnent pas pour des polynômes de degré 3 lorsqu'ils ont 3 racines réelles, sauf cas particulier. Et pour les équations de degré 4, comme on se ramène à résoudre une équation auxiliaire de degré 3, ... Enfin, pour les degrés 5 et plus, il est prouvé qu'il n'existe pas de méthode générale.
Ce qui n'interdit pas d'être intelligent et de traiter certains cas particuliers : x^7-1 se factorise facilement avec les racines septièmes de l'unité.
Quel calcul entre 2 fractions ? Si c'est une somme ou une différence, il paraît évident qu'il vaut mieux revenir à la somme et décomposer chacune des fractions, plus simples !!
Cordialement.
Attention, ce n'est pas parce que les racines d'un polynôme ne sont pas exprimables par radicaux (si le groupe de Galois n'est pas résoluble) que l'on ne peut pas factoriser.
Pour factoriser un polynôme à coefficients rationnels dans R c'est "facile", on fait de la "dichotomie" dans C pour avoir une approximation des racines, et on regroupe les racines conjuguées pour obtenir la factorisation dans R. Pour avoir la factorisation exacte plutôt qu'approchée, comme il s'agit de nombres algébriques on peut faire du LLL pour reconstituer les polynômes minimaux. Il faut juste avoir assez de précision, ie une estimation de la hauteur des racines en fonction de la taille des coefficients du polynôme. De là on en déduit même une factorisation sur Q en faisant agir par le groupe de Galois pour regrouper les orbites. (Une autre méthode pour factoriser sur Q et de factoriser sur F_p[X], lifter sur Q_p et faire du LLL sur les facteurs pour identifier les combinaisons qui donnent des polynômes rationnels).
Bonjour,
Gondolin, remarques très intéressantes...
Sais-tu s'il existe en ligne une implémentation de l'algorithme LLL qui fournirait la factorisation de polynomes à coefficients rationnels pas trop grands, quand c'est possible?
J'ai regardé sur Wolfram Alpha, mais il ne semble pas que cela figure dans ce qu'il sait faire, bien qu'il ait implementé une fonction latticereduce.
http://reference.wolfram.com/languag...iceReduce.html
A défaut, il faudrait construire la matrice correspondant au polynome...Saurais-tu comment on doit procéder?
Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
Sage (accessible en ligne via sage math cloud) sait factoriser des polynômes sur Q. En sous main il appelle Pari. D'ailleurs GP/Pari est même disponible sur android (Sage est trop gros...) via l'application PariDroid si jamais tu as besoin de factoriser des polynômes sur ton téléphone un jour
Bonsoir
Merci pour ces liens, Je vais tester cela..
Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
Ok, Gondolin,
mais ce serait plus intéressant si tu avais en exemple factorisé le polynôme du message #1
Cordialement.
Dernière modification par gg0 ; 25/11/2016 à 21h57.
Bonjour,
Aussi sophistiqué soit-il, l'algorithme ne peut pas inventer des factorisations rationnelles quand il n'y en a pas...
Ici, on aurait pu espérer une factorisation avec un polynome de degré 4 et un de degré 3.
Mais j'avais déjà fait des essais à la main et aucun produit de 3 racines parmi les 7 calculées par Wolfram ne donne de valeur rationnelle
(testé avec la méthode des fractions continues, bien plus à ma portée que LLL, et pour être tout à fait sûr de ne rien rater, j'avais refait le calcul des racines à 10-9....)
Le plus probable que le polynome fourni par Synbel est erroné (erreur de calcul ou de recopie), mais il n'est pas repassé pour dire quels sont les bons coefficients....
Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
C'est un polynôme irréductible. Le corps de nombre correspondant a pour signature (3,2), ce qui veut dire que sur R il se factorise comme 3 polynômes de degré 1 et 2 polynômes de degrés 2.
Resarturs: je me suis renseigné plus en détail pour savoir comment on identifie les combinaisons de facteurs irréductibles sur Q_p qui donnent un facteur rationel (autant LLL pour trouver le polynôme minimal on voit bien comment ça marche, là ça semble moins immédiat). En fait c'est très amusant: on regarde les sommes de newton des facteurs; la somme de newton du produit étant la somme de la somme de newton des facteurs on obtient un système linéaire! Il ne reste plus qu'à trouver via LLL une combinaison avec une petite norme p-adique, ça correspondra à un nombre rationel.
bjr,
je reviens sur cet échange :
Envoyé par Synbel
même si les approches proposées de "résolution globale" sont très intéressantes à suivre , il me semble qu'un petit retour en arrière sur ce qui a amené à cette grosse fraction ne serait pas inutile pour l'exercice lui-même.
