Racines d'un polynome de degré 2n

[invite31c09461]

Bonsoir!

J'ai le polynome suivant :

Je dois montrer qu'il est égal à :

Sachant que:
1/ les solutions de l'équation sont aux nombres de 2n et s'expriment sous la forme : ,
2/,
3/

Je comprends bien qu'il s'agit de factoriser par les racines du polynôme, que l'expression du produit est une identité remarquable (a-b)(a+b) (pour chaque solution, l'opposé de la solution est également solution), mais que vient faire le (2n+1) en facteur?

Toute réponse (même nocturne) est la bienvenue!
Merci d'avance

Romain
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[mimo13]

J'ai le polynome suivant :

A partir de cet expression quel est le coefficient dominant de ?

[invite31c09461]

Le terme de plus haut degré est X^2n (les X^2n+1 s'annulant), et son coefficient est 1, non?

[mimo13]

Le terme de plus haut degré est X^2n (les X^2n+1 s'annulant)

C'est vrai.

et son coefficient est 1, non?

Non.

IL serait peut être plus simple de le voir à partir de la seconde expression que tu as établit.

3/

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite31c09461]

Ahhh, non, son coefficient est 2n+1! (1 parmi 2n+1=2n+1, et non =1, au temps pour moi)
Donc à partir de là, jpeux dire que Qn(X)=(2n+1)PROD(de 1 à 2n)(X-cot(...))
Là, il faut que je transforme mon expression pour avoir un produit de 1 à n, avec des carrés, cad il faut que je montre que -cot(...) est aussi racine. C'est plus ou moins déja fait (point 2/ de mon premier message), mais ça me fait plus que 2n solutions non?
Désolé, à cette heure de la journée j'ai pas l'impression d'être très vif...

Merci pour tes réponses quoi qu'il en soit!

[invite31c09461]

Non, il suffit que je prenne mes solutions (appelons les alpha) de -alpha(n) à alpha (n) (en excluant alpha(0)), et j'ai toujours 2n solutions. J'y suis presque!

[invite31c09461]

Je m'arrête pour ce soir; mon explication du passage entre le fait que les racines aillent de -alpha(n) à alpha(n) et l'expression Qn=(2n+1)PROD(X-alpha(n))(X+alpha(n)) est un peu vague, mais au moins j'ai compris de quoi il retournait. Si quelqu'un se sent le courage de clarifier ça d'ici demain matin, je le lirai au réveil avec plaisir, sinon c'est pas très grave.
Merci encore Mimo!