nombres premiers et base 7

[city_hunter]

Bonjour,
En regardant une liste de nombres premiers j'ai eu la curiosité de les convertir en base 3, 5, et 7, pour voir ce que ca donnait.
Ensuite j'ai additionné les chiffres qui composaient ces nombres (dans leur nouvelle écriture), et là j'ai été assez surpris.
En réalisant cette opération sur plusieurs dizaines de nombres premiers écris en base 7, je remarquais que l'addition de ses chiffres donnait à son tour un nombre premier...
Au début je pensais a une coincidence et j'ai donc essayé de trouver des nombres qui contredisent cette série. J'ai fait ça sur des petits nombres puis des nombres à 3, 4, 5, 6, 7 chiffres et plus. Tous ceux que j'ai testé donnaient systématiquement un nombre premier! Et j'en ai fait un paquet.
Finalement je suis tombé sur un nombre qui contredisait cette règle bizarre , mais c'était un très grand nombre, peu etre 10 ou 11 chiffres je crois. Je ne l'ai pas noté.
Donc j'ai 4 questions là dessus:

-Est ce que ce phénomène est réel (je n'ai pas testé tous les nombres évidemment donc peut-etre existe-t-il de nombreux contre-exemples a coté desquels je serais passé)?
-S'il est réel, est ce qu'il a dejà été remarqué (j'imagine que oui), et expliqué (j'imagine que oui aussi)?
-S'il a déjà été expliqué, quelle est cette explication?
-Y'a t'il une ensemble de nombres au delà duquel le phénomène ne se vérifie plus?

Merci d'avance pour vos réponses, de préférence pas trop technico-techniques, car comme vous l'aurez deviné je suis plutot une quiche en maths.
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[Médiat]

Bonjour,

D'abord : bravo pour votre enthousiasme, surtout, quelque soit les impasses dans lesquelles vous risquez de vous engager, n'abandonnez pas.

Malheureusement 4801 (en base 10) qui est bien premier s'écrit 16666 en base 7 et la somme est 25 qui n'est pas premier.

On peut se demander pourquoi faut-il allez aussi loin que 4801, il y a bien une raison : un nombre dont la somme des chiffres en base 7 est divisible par 3 est lui-même divisible par 3,donc pas premier (techniquement, c'est parce que 7 est congru à 1 modulo 3), de la même façon, un nombre dont la somme des chiffres en base 7 est divisible par 2 est lui-même divisible par 2, donc pas premier (techniquement, c'est parce que 7 est congru à 1 modulo 2).

Si vous essayez avec la base 3 au lieu de 7 : 233 (en base 10) s'écrit 22122 dont la somme des chiffres est 9

En base 5 : 73 s'écrit 243 en base 5 dont la somme des chiffres est 9

En base 11 : 19 s'écrit 18 en base 11 dont la somme des chiffres est 9

etc.

[city_hunter]

Merci pour votre réponse. En cherchant bien j'étais ensuite tombé sur quelques sommes = 25
Si je comprends votre explication , c'est donc que tout nombre premier en base 7 donnera si on additionne ses chiffres un nombre non divisible par 2 ni 3 mais pas nécessairement premier, et 25 est le plus petit à etre non premier.
On aura donc 35, 49, 55, 65, 77, etc ... en cherchant plus loin
Est ce exact?

[Médiat]

Bonjour,

Oui, c'est bien cela, sachant que pour obtenir 35 comme somme, il faut au moins 6 chiffres (en base 7), par exemple 201 683 en base 10 s'écrit 1 466 666 en base 7

Et pour 49 il faut 9 chiffres en base 7, par exemple 16 470 859 s'écrit 256 666 666 en base 7

[A voir en vidéo sur Futura]

[city_hunter]

ok. Merci pour vos explications