Claulc des coeffs d'une décomposition en éléments simples

[invitebce8a4b6]

Bonjour à tous.

Essayant tant bien que mal de comprendre la méthode de décomposition en éléments de fractions rationnelles (qui n'a pas l'air d'une difficulté extrême pourtant), je me suis retrouvé bloqué dans mon exemple.
Voici ma fraction :

J'ai suivi la méthode de ce site que je trouve bien complète (http://www.les-mathematiques.net/a/d/a/node6.php), mais apparemment pas assez.
Je transforme ma fraction en éléments simples :

Et là, en suivant la méthode, j'arrive à déterminer un des coefficients en multipliant mon équation par (x+1)^3 et en remplaçant x par -1, ce qui me donne A_3 = -3.

Mais le problème c'est que je ne vois pas comment déterminer les coeffs. restants.

Je remercie chaleureusement le bon samaritain qui me viendra en aide!

Bonne soirée.
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[gg0]

Bonjour.

Ce que tu as fait ne suffit pas, effectivement. Il y a d'autres méthodes, adaptées à ce cas :
* par division : diviser par , c'est diviser trois fois de suite par x+1. 2x-1 se divise une fois par x+1, puis on réécrit les divisions nécessaires.
* par changement de variable : On pose t=x+1, on remplace x, on décompose (c'est devenu évident), puis on revient à x.

Cordialement.

[invitea566cd38]

Si tu as trouvé A_3 pour les deux autres il suffit de fixé x ; x=1 ; x=0 ; t'auras un système à deux équations ! et BINGO ....

[stefjm]

Bonjour,
Un classique pour trouver consiste à multiplier par (ou par ) et d'évaluer la limite en .
Du coup, on peut continuer pour trouver en multipliant par (ou par ) et en évaluant en .

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

En bilan de toutes ces méthodes :
* le changement de variable n'est utile que si c'est un terme de degré 1
* la division peut être utilisée aussi avec des termes de degré 2
* la méthode de Yacine97 est très générale, elle permet de trouver tous les coefficients dans tous les cas, au prix d'une résolution de système qui peut être coûteuse (mais rapide pour l'ordinateur)
* la méthode de Stefjm peut être aussi utilisée pour des termes de degré 2.

Et pour toi, Balfar, il est utile de connaître toutes ces méthodes pour pouvoir choisir ce qui ira le plus vite dans un autre cas.

Cordialement.

[invitebce8a4b6]

Merci à tous pour vos réponses complètes!

[invitebce8a4b6]

Désolé du double-post. Je profite de ce topic pour poser une autre question: je dois maintenant intégrer . Je transforme d'abord ma fraction pour arriver à . La première partie s'intègre facilement et me donne 3/2 ln(x²+x+1) mais je n'arrive pas à intégrer le second membre!
En suivant la méthode, je fais un changement de variable u=x+1/2 qui me donne . Je suis bon jusque là je suppose, j'ai réussi à me débarrasser d'un membre. Mais pour le deuxième changement de variable, c'est le drame. Je pose mais je n'arrive à rien. Je suis pas sûr de suivre la bonne méthode, ou que le changement de variable soit le bon...

[inviteb2cc74dc]

Salut;

La seconde fraction s'intègre en revenant à une dérivée de arctan ( pas besoin de changement de variable, il suffit de mettre x^2+x+1 sous forme canonique (ie sous forme (x+a)^2+b je te laisse trouver le a et le b) puis de factoriser b
pour se ramener a une expression du type A*1/(1+u^2) qui s'intègre avec la fonction arctan.
Je reste volontairement vague pour t'encourager à faire les calculs toi-même, n'hésite pas à demander pour plus de précisions.

PS: avec ton changement de variable on peut aussi le faire(ça revient au même en fait), tu as juste à factoriser le 3/4 au dénominateur.

[invitebce8a4b6]

Merci, j'étais justement en train d'essayer avec la forme canonique.
J'ai . Je "tripatouille" pour enlever le 3/4 et j'arrive à . Je pose et en intégrant je termine avec
Victoire non??

[stefjm]

Oui.
https://www.wolframalpha.com/input/?...x%5E2%2Bx%2B1)