Primitive de 1/cosh(x)

[invitebce8a4b6]

Bonjour à toutes et à tous.

Je me pose plusieurs questions au sujet d'un calcul intégral que j'ai fait. Tout d'abord le calcul :

Je pose alors

Je passe ensuite par la forme canonique pour arriver à une fonction que je sais intégrer, celle

J'ai donc comme résultat final

Plusieurs problèmes se posent à mes yeux : ce qui me trouble le plus c'est la présence de i. C'est peut-être normal mais c'est bien la première fois que ça m'arrive. La seconde c'est que de tous les résultats que j'ai trouvé sur internet pour cette intégrale, il n'y en a pas un seul qui corresponde au mien. Tous terminent avec des fonctions trigonométriques hyperboliques.
Le dernier problème c'est donc que je pense que mon calcul est faux... Et j'ai beau le relire, je le trouve juste !

J'aurai donc besoin d'un oeil plus talentueux que le mien et de ses précieux conseils... Merci d'avance!
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[invitebce8a4b6]

ERRATUM

Il y a effectivement (au moins) une erreur dans mon calcul, j'ai intégré en arc tangente sans faire de changement de variable. Je corrige

je pose et donc

[Médiat]

Bonjour

Si vous commenciez par muliplier numérateur et dénominateur par e^x, cela vous éviterait des fautes de calculs

[invitebce8a4b6]

Effectivement ça va plus vite

Je pose


On est loin de ce que j'avais trouvé mon calcul est donc faux.. je présume ? A moins que les deux soient égaux mais j'en doute fort.
Où est-ce que je me suis trompé?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

L'erreur est là :


exp(-ln(u))=1/u


A noter : avec u²+u au dénominateur, on décompose en éléments simples, on ne se ramène pas à arctan.

Cordialement.

[invite51d17075]

bjr,
je commencerai par un chgt de variable t=x/2 soit x=2t, ce qui fait apparaître des e(2t) et des e(-2t).
( l'idée étant que l'on connaît la primitive de 1/cosh² )
la fonction devient du type
4/(e(2t)+e(-2t))
Or
(e(t)+e(-t))²+(e(t)-e(-t))²=2(e(2t)+e(-2t))
donc le dénominateur est du type 2(sinh²(t)+cosh²(t))
soit
en résumé
2/((cosh²(t)(1+tanh²(t)) qui est de la forme
2( u'(t)/(1+u²(t)) avec u(t)=tanh(t)....... ( car la dérivée de tanh(t) est 1/cosh²(t) )
y'apuka !

[invite51d17075]

faut que je vérifie mes facteurs multiplicatif, 2,4 etc qui se baladent partout !!!

[invite51d17075]

me suis pas trompé ds les facteurs .( je cois )
ce qui donne bien
2arctan(tanh (x/2))