Formules de Taylor

[invite7e34bcfc]

Bonjour,

Y a pas mal de formules de Taylor : formules de Taylor-Young, formule de Taylor-Lagrange, inégalité de Taylor Lagrange, formule de Taylor avec reste de Laplace, formule de Taylor Cauchy.
Qu'est-ce qui les différencie ? Notamment dans la pratique ? Certaines de ces formules sont-elles généralisation d'une autre ?

Je crois avoir compris que la formule de Taylor Lagrange fournit une évaluation globale d'une fonction sur un intervalle, et que la formule de Taloy Young fournit le comportement local d'une fonction au voisinage d'un point. Par contre pour le reste des formules (inégalité de Tayor Lagrange, formule avec Cauchy et formule avec reste de Laplace) je vois pas bien ce que ça vient apporter
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[invite8ab92492]

Salut,

Le développement de Taylor c'est la transformation d'une fonction qu'on ne sait pas très bien manipuler en une fonction qu'on sait plutôt bien manipuler : le polynôme. Par exemple cos(x) + x = 0 n'est pas si simple à résoudre, par contre l'approximation (1 - x²/2 + r) + x = 0 est facile à résoudre et souvent suffisamment précise si r est proche de zéro. Taylor c'est donc juste un développement à l'infini, illimité. r c'est le reste du développement limité qui tend vers zéro plus le développement est long. Young, Lagrange, Cauchy... ont proposé par la suite d'estimer l'erreur r pour savoir si le développement limité est suffisamment précis ou non, chacun proposant une estimation différente. Donc Taylor-Young = développent de Taylor limité + estimation d'erreur selon Young, ect...

Parfois on peut obtenir des résultats très intéressant en utilisant Taylor illimité : développe cos(x), développe i*sin(x), fait l'addition et magie tu tombes sur le même développent que exp(i*x) !