Sous-groupe

[badrissa36]

Bonjour.J'ai un exercice :
Soit b et c des entiers relatifs qui vérifient: b²-4c<0.On considère le polynôme P=X²-bX+C et on désigne (alpha) et (alpha barre) ses racines(complexes conjuguées.On note Zalpha={p+qalpha,q€Z} et Zalphabarre={p+q,q}.
1-)Montrer que Zalpha est un sous-anneau de (C,+,.)
2-)Montrer que l'ensemble Galpha des éléments de Zalpha dont l'inverse appartient à Zalpha est un groupe.
2-)a)Montrer que Zalpha=Zalphabarre
b-)Étant donné z=p+qalpha,montrer que z=0<=>p=q=0
3-) On considère l'application f:Zalpha->N,à z on associe |z|²
a-)Vérifier que pour z=p+qalpha,p,q€Z,on a
f(z)=p²+bpq+cq²
b-)Quelle est l'image de par f du groupe Galpha?
En déduire ,pour z=p+qalpha€Galpha,on a :
0<ou égal à q²(4c-b²< ou égale à 4
4-En discutant suivant les valeurs possibles de b²-4c, déterminer les éléments du groupes Galpha.
(On vérifiera que tout n€Z,il existe k€Z tel que que:n²=4 ou n²=4k+1)
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[badrissa36]

J'ai déjà répondu à la question 1-)a-).Mais pour la question 2-) j'ai répondu :
(Pour montrer que l'ensemble des éléments de Zalpha dont l'inverse appartient à Zalpha est un groupe,il suffit de montrer que Galpha est un sous-groupe de Zalpha). Mais je ne sais s'il faut montrer que Galpha est un sous-groupe de Zalpha pour une seule loi seulement ou s'il faut montrer pour les deux lois

[invite9dc7b526]

La question n'est pas très bien posée. Il s'agit de montrer que l'ensemble des éléments inversibles (sous-entendu : pour la multiplication) de l'anneau considéré est un groupe multiplicatif (pour la multiplication induite en toute rigueur). C'est d'ailleurs une propriété vraie dans tout anneau.

[badrissa36]

Merci bien.
J'ai un problème pour la question 3-)b-) car on a pas parlé d'application morphisme de groupes.Voici ma réponse:
f(Galpha)={p²+bpq+cq²€|N/|p+qalpha|²€ |N}.Est-elle correcte ?

[A voir en vidéo sur Futura]