loi de composition interne originale

[invite69d45bb4]

bonjour à tous

soient f une bijection de R dans lui meme et g sa bijection réciproque. on definit une loi de composition interne $ dans R définie par : pour tout (x,y) de R^2

on sait tout d'abord que f(g(x)=g(f(x)=x


x$y=g[f(x)+f(y)]




question:montrer que (R,$) est un groupe abélien isomorphe à (R,+)


on sait tout d'abord que f(g(x)=g(f(x)=x

ce que j'ai fait

1) associativité
pour tout x y z de R^3


(x$y)$z=g[f(x$y)+f(z)]=g[f(g[f(x)+f(y)])+f(z)]=g[f(x)+f(y)+f(z)]

x$(y$z)=g[f(x)+f(y$z)]=g[f(x)+f(g[f(y)+f(z)]=g[f(x)+f(y)+f(z)]


on a (x$y) $z=x$(y$z)

donc $ est associative

2) élément neutre


pour tout x de R il existe un unique élément e tel que:


xe=ex=x--->g[f(x)+ f(g(0)]=g[(f(x)+0]=g(f(x)=x on fait le meme raisonnement pour le neutre à gauche. g(0) est le neutre pour $


3) symétrique

pour tout x de R il existe un unique x' tel que :

xx ′ =x'x=e --->x$g[-f(x)]=g[f(x)+f[g(-f(x))]=g[f(x)-f(x)]=g(0) donc x'=g[-f(x)] on le vérifie à gauche et à droite

4) commutativité


pour tout x,y de R on a


x$y=g[f(x)+f(y)]=g[f(y)+f(x)]=y$x





puis f(x$y)=f(g[f(x)+f(y)])=f(x)+f(y) donc (R,$) et (R,+) sont isomorphe





conclusion (R,$) est un groupe abélien isomorphe au groupe (R,+)



est ce correct?




merci d'avance pour vos réponses




cordialement
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[gg0]

Bonjour.

Je n'ai pas trop compris ce que tu écris pour l'élément neutre et le symétrique. Le plus simple, dans ces cas-là est de définir le neutre ("soit e= ...") puis prouver qu'il vérifie bien la propriété, donc qu'il est bien l'élément neutre. Tu ne fais ni l'un, ni clairement l'autre. Idem pour le symétrique de x. Ce que je lis est un compte rendu de recherche, pas la preuve.
Pour l'isomorphisme, rappeler que f est une bijection ne ferait pas de mal.

Cordialement.

[invite69d45bb4]

pour le neutre on pose e=f(g(0) et on verifie qu'ilsatisfait la propriété de l'élément neutre idem pour le symétrique on pose x'=g[-f(x)] on vérifie qu'il satisfait la propriété du symetrique et pour cela on utilise le fait que f est une bijection de R dans lui meme et que g est la bijection réciproque de f et enfin on utilise le meme argument (bijection et bijection réciproque) pour montrer que f est un isomorphisme de (R,$) dans (R,+) ce qui donne


2) élément neutre







pour tout x de R soit e=f(g(0) le neutre de $ on a alors:







x$e=e$x=x--->g[f(x)+ f(g(0)]=g[(f(x)+0]=g(f(x)=x on fait le meme raisonnement pour le neutre à gauche. g(0) est le neutre pour $







3) symétrique




pour tout x de R soit x'=g[-f(x)] le symétrique de x alors on a :




x$x ′ =x'$x=e --->x$g[-f(x)]=g[f(x)+f[g(-f(x))]=g[f(x)-f(x)]=g(0) donc x'=g[-f(x)] est bien le symétrique de x pour $ à gauche et à droite







et enfin pour l'isomorphisme on a :




f(x$y)=f(g[f(x)+f(y)])=f(x)+f(y) donc (R,$) et (R,+) sont isomorphe car g est la bijection réciproque de f d'ou g(f(x)=x et g(f(y)=y

[gg0]

Toujours bizarre, tes rédactions pour le neutre et le symétrique :
x$e=e$x=x--->
x$x ′ =x'$x=e --->
C'est quoi cette flèche ? Et pourquoi écris-tu ce qu'il y a à prouver ? On le sait, puisque tu l'as annoncé.

Pour l'isomorphisme, je ne comprends pas l'utilité de "car g est la bijection réciproque de f d'ou g(f(x)=x et g(f(y)=y ", tu as utilisé cette propriété depuis le début. Ce n'est pas en lien avec ce que je te disais. Revois la définition d'un isomorphisme.

Dernière chose : Pourquoi toutes ces lignes vides entre deux phrases ???

[A voir en vidéo sur Futura]