rang d'une famille de vecteurs

[invite8c58b412]

salut , bref , j aimerai comprendre cette proposition qui concerne le rang dune famille de vecteur dans un espace vectoriel de dimension finie :le rang d'une famille de vecteurs est le maximum des cardinaux des sous familles libre s , ce que j ai comprend c'est que cette famille est deja generatrices , donc je dois chercher dans laquelle la plus grande sous famille libres pour trouvez une base de cet espace vectoriel ( donc la dimension de ker{}=0) puis le cardinal de cette base est la dimension de cette familles (dim(im(f))=rg(famille)=card(b ase)) , aider moi svp , merci d'avance
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[gg0]

Bonjour.

A priori, une famille n'a pas besoin d'être génératrice pour qu'on trouve son rang. Et la notion de rang est définie ici seulement avec la notion de famille libre.

Ensuite, pour toute famille de vecteurs d'un espace vectoriel (de dimension finie ou non), il existe un sous-espace vectoriel engendré, et donc cette famille est génératrice du sev engendré. Est-ce vraiment utile ici ?

J'ai l'impression que tu mélanges le cours ("le rang d'une famille de vecteurs est le maximum des cardinaux des sous familles libres") avec des applications ou des exercices. C'est le plus sûr moyen de tout mélanger, puisque dans les applications du cours, on est dans des cas particuliers. Ces applications (ou exercices) doivent te servir à voir comment on s'est servi exactement des règles du cours, en ne retenant que les règles du cours (elles resserviront dans d'autres applications ou exercices, contrairement au détail de ce que tu lis).

Bon travail d'apprentissage !

NB : Je ne comprends rien à ce que tu écrids à la fin, avec un ker alors qu'il n'y a même pas d'application linéaire. Revois de près les notions du cours.

[invite8c58b412]

merci infiniment monsieur , mais ce n"est pas claire a 100% , juste j aimerai savoir , pour quel raison la notion de rang est liée avec la notion de famille libre ??

[gg0]

Le rang d'une famille est la dimension du sous-espace vectoriel engendré. Comme la famille est génératrice de ce sev, on peut en extraire des base, des sous-familles libres et génératrices, qui sont des sous-familles libres de taille maximale, dont le nombre d'éléments est alors la dimension du sev engendré, le rang de la famille.
Tout ça se voit quand on apprend correctement les cours sur les notions d'indépendance linéaire (familles libres), de génération (parties génératrices) et base.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]