Variables aléatoires: Dans cet exercice, pourquoi prendre Y = X1 + X2 + X3 + X4 plutôt que Y = 4.X ?

[invite86498561]

Bonjour et bonne année à tous!

Je me tourne vers vous pour une explication; j'ai un exercice portant sur l'emploi de variables aléatoires normales et je suis un peu confus par le raisonnement proposé par le corrigé qu'on m'a fourni...

L'exercice s'énonce comme suit:

"Vous devez approvisionner un stock de marchandises pour 4 mois. La demande mensuelle suit une loi normale de moyenne 10000 et d'écart-type 2000 et on suppose qu'il y a indépendance d'un mois à l'autre. Quelle quantité de marchandises faut-il commander au moins pour que la probabilité d'avoir une rupture de stock soit inférieur à 1%?"

Sachant que X = N(10000,2000) pour chaque mois, ma réflexe personnelle (erronée visiblement!) a été de considérer une variable aléatoire Y = 4.X...or le corrigé propose plutot de considérer une nouvelle variable Y qui serait la somme de variables Xi ou i=1 pour le premier mois, i=2 pour le second etc (cf image ci-joint)

Je cherche simplement à mieux comprendre ce choix si quelqu'un saurait éclaircir la chose je serai très reconnaissant!

Merci d'avance pour votre assistance!
-----

[minushabens]

Effectivement le nombre d'articles vendus au cours des mois 1 à 4 est X1+X2+X3+X4 et non 4*X1, ce qui serait le cas si les mois 2,3,4 il se vendait exactement le même nombre d'articles que le mois 1.

[invite86498561]

Ok, merci minushabens!
Par contre du coup je me demande pourquoi ce ne serait le cas?

[Matmat]

Tu dois comprendre qu'une variable est dépendante d'elle même .

L'énoncé dit qu'il y a indépendance d'un mois à l'autre , en utilisant une seule variable tu ne respecte pas l'énoncé , tu créés une dépendance qui n'existe pas dans l'énoncé .

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonsoir.

Si tu vends 10500 le premier mois, il n'y a aucune raison pour que la vente des 4 mois soit 4*10500. les ventes du deuxième mois sont à priori différentes.

Cordialement.

[invite86498561]

Ca va, je pense avoir compris grâce à vous! Merci tous les trois

[Dlzlogic]

Bonjour,
Dans la continuation directe de cet exercice, en voici un autre qui, à ma connaissance, n'a pas été résolu dans le cadre de forums.

Je suis face à un problème d'optimisation :
Mon client me dit que je dois livrer la pièce de remplacement de la pièce défectueuse au bout de 30jours.
Moi je ne peux livrer la pièce qu'au bout de 70jours, sachant que par an j'ai 27 demandes,
quel est le stock minimum que je dois mettre en place pour pouvoir assurer mon engagement
comment formaliser ce problème mathématiquement.

L'énoncé est un peu sophistiqué, mais, fondamentalement le problème est strictement le même.
(C'est la copie de l'énoncé posé sur un autre forum, il y a quelques années. En fait, je n'ai jamais su s'il s'agissait d'un exercice ou d'un cas réel)

[minushabens]

L'énoncé est un peu sophistiqué, mais, fondamentalement le problème est strictement le même.

ça ne saute pas aux yeux...

[Dlzlogic]

Dans les deux exercices il s'agit de gestion de stock. C'est à dire de prévoir la quantité qui sera immobilisée et disponible, connaissant la consommation.
Il est vrai que dans l'exercice de base, tout est détaillé, alors que dans celui que j'ai cité on est beaucoup plus proche d'un contexte réaliste, voire réel.

[invitebb20e0c7]

Bonjour,
Dans la continuation directe de cet exercice, en voici un autre qui, à ma connaissance, n'a pas été résolu dans le cadre de forums.

L'énoncé est un peu sophistiqué, mais, fondamentalement le problème est strictement le même.
(C'est la copie de l'énoncé posé sur un autre forum, il y a quelques années. En fait, je n'ai jamais su s'il s'agissait d'un exercice ou d'un cas réel)

Bonjour
je propose cette solution, assez simple :
27 demandes par an, donc 1 demande tous les 13 jours en moyenne.
La différence entre le temps de livraison et le temps de remplacement est 40 jours, donc il faut assurer un stockage minimum de 4 pièces (40 / 13 vaut juste au-dessus de 3).
Merci.

[Dlzlogic]

Bonjour Max,
Le résultat est bon, mais le calcul assez simpliste, en tout cas ce résultat est très contesté.
L'argument invoqué est : "Et si tous les clients apportent leur pièce à échanger à peu près en même temps ?". Il faudrait répondre à cette contestation.

[invitebb20e0c7]

oui, le résultat est bon et inconstestable. je suppose qu'une demande est faite tous les 13 jours, sans aucune probabilité.
maintenant, si on dit que les demandes peuvent être groupées, il faut augmenter le stock, c'est logique.

[Dlzlogic]

Bonsoir Max,
La solution du problème n'est pas évidente, je vous l'accorde, mais comme l'énoncé est parfaitement clair, il me parait normal d'attendre une réponse incontestable.
Le résultat est bon, soit, mais votre calcul est parfaitement contestable et contesté. Il vous reste à le prouver ou à le modifier.
Vous voulez augmenter le stock, pourquoi pas, mais de combien ?

[invitebb20e0c7]

Bonjour Dlzlogic,
mon calcul n'est pas contestable : une demande est faite tous les 13 jours, la différence entre 70 et 30 vaut 40, ce qui prouve qu'un stock de 4 suffira (3 est insuffisant car 3*13 = 39).
A vous de prouver où il y a une erreur dans cela.
Vous dites qu'il faut attendre une réponse incontestable. Vous pensez à quoi, à qui ?

[Dlzlogic]

Bonjour Max,
Imaginons que vous vendez des pièces détachées. Si un client arrive le lendemain du jour où vous avez vendu la dernière pièce, vous allez lui répondre "Oh, mais j'ai calculé de façon incontestable qu'il y avait un client tous les 13 jours ! Vous ne deviez pas arriver aujourd'hui mais dans 17 jours, puisqu'un client est arrivé lui aussi trop tôt. Donc c'est vous qui avez tort, puisque mes calculs sont incontestables".

*** Inapproprié ***

[invitebb20e0c7]

Mes calculs reposent sur l'hypothèse qu'une demande est faite tous les 13 jours. C'est une hypothèse, on peut la contester, mais on ne peut pas contester les trois calculs présentés qui en découlent.

Sur une hypothèse différente (à vous de dire laquelle), alors le stock devra être augmenté. Je l'ai déjà dit, pardon.

[minushabens]

Rien dans l'énoncé ne dit que les demandes arrivent de façon régulière tous les 13 jours. C'est un problème de type file d'attente, il est plus naturel de modéliser les demandes par un processus de Poisson (ce qui est aussi une hypothèse mais classique dans ce contexte).

[invitebb20e0c7]

bonjour,
d'après vous, la solution que je propose est donc fausse. Je dois avouer qu'elle n'utilise aucune notion de probabilité, ce qui la rend pas crédible.
Le stock doit être plus important que 4. Quel est le résultat obtenu avec l'utilisation de loi de Poisson ?

[Tryss2]

En prenant une distribution de Poisson, on voit facilement que le nombre de demandes sur 40 jours à raison d'une demande tout les 13 jours en moyenne suit une loi de Poisson de paramètre 3.07, et que donc il y a 99% de chance d'avoir 8 demandes ou moins (en fait, environ 99.56%, mais 98.65% de chance d'en avoir 7 ou moins). Il faudrait donc 8 pièces si j'ai bien compris le problème

[Dlzlogic]

Bonsoir Tryss,
Non, la bonne réponse est 4. Encore faut-il le démontrer ou au moins le vérifier.

[Tryss2]

Alors je n'ai pas compris l'énoncé...

[feanorel]

Entendons nous bien : l'énoncé n'est pas mathématique. Ta proposition Tryss fait tout à fait sens et est une réponse parfaitement acceptable au problème. Celle de max fait aussi sens avec une hypothèse peut-être moins réaliste (demande déterministe régulière).

Si on comprends "sachant que par an j'ai 27 demandes" par "je suis sur qu'il y aura 27 demande dans l'année mais je n'ai pas la moindre idée de quand elles vont arriver" et "quel est le stock minimum que je dois mettre en place pour pouvoir assurer mon engagement" par "je veux assurer la livraison à 100%" alors la bonne réponse est un stock de 27 (puisque toutes les demandes pourraient arriver en même temps).

Le travail d'un mathématicien consiste à formuler plus proprement le problème. Pour cela il faut d'abord proposer une modélisation probabiliste "raisonnable". Un processus poissonnien est probablement la modélisation la plus naturelle si on comprends le "27 par an" comme une moyenne et qu'on suppose une équirépartition dans le temps, mais d'autres modélisation sont possibles. Ensuite soit on prend une approche "optimisation" et on précse le sens de "assurer mon engagement" (par exemple "avoir une probabilité de satisfaire l'ensemble des demandes supérieure à 95%"). On a alors un problème mathématique bien posé avec une réponse unique.
Soit on prend une approche "simulation" (plus ingénieur peut-être) qui consiste à se fixer une stratégie, par exemple un niveau de stock qu'on recomplète systématiquement et de l'évaluer à l'aide de simulations. On peut alors commenter le choix de chaque niveau de stock suivant divers paramètre et discuter avec les opérationnels pour choisir celui adapté à leurs besoins.

Dans tous les cas on a besoin de faire un modèle probabiliste plus précis que "27 demande par an".

Quoi qu'il en soit "4" n'est pas LA bonne réponse au problème initial, puisque celui-ci est mal posé.

[feanorel]

Pour ceux qui ne verrait pas pourquoi je dis que le problème est mal posé (et donc que "l'énoncé n'est pas parfaitement clair"), voici quelques modélisations probabiliste possibles :
En partant du principe qu'on a exactement 27 demandes par an (peu crédible):
a) on tire indépendemment 27 jours dans l'année de manière uniforme, chaque jours correspond à une demande
b) on a une demande sûre tous les 13.5 jours
c) on peut avoir des informations sur les demandes suivant les trimestre et préférer répartir ces demandes au sein de chaque trimestre
En partant du principe qu'on a en moyenne 27 demande par an :
d) un processus de Poisson, c'est à dire qu'à l'instant 0 on tire la date de la prochaine commande suivant une loi de Poisson d'espérance 13.5, puis une fois la commande passée on tire la suivante suivant cette même loi, etc... C'est probablement la modélisation la plus naturelle du problème en l'absence d'autres informations.
e) un tirage par mois du nombre de commande (par exemple Poissonnien), puis une répartition uniforme des commandes dans le mois (étape non indispensable si on souhaite par exemple grouper les commandes par mois).

Ce ne sont bien sûr que des exemples, il y aurait plein d'autres modélisation possible, à choisir à partir des informations disponibles (par exemple avec les historiques).

Quant à la partie "assurer ses engagements" voici quelques modélisation mathématique possible :
1) Quoi qu'il arrive être en mesure de livrer en 30 jours. C'est extrêmement conservateur et requiert u stock de 27 si on est sûr d'avoir 27 commandes dans l'année. Probablement impossible dans de nombreuses modélisation (ex : processus de Poisson)
2) Avoir une proba donnée (90%, 95%, 99%, 99.9%...) de satisfaire toutes les demandes de l'année en temps et en heure.
3) Pouvoir satisfaire chaque demande avec une proba donnée (moins conservateur que la contrainte précédente).

Ici aussi il y a d'autres modélisations possible...

[invitebb20e0c7]

Bonjour
Dlzlogic dit que c'est 4 (sans preuve, mais en refusant ma solution, je ne comprends pas), Tryss dit 8 en utilisant la loi de Poisson, Feanorel dit que l'énoncé est source de multiples interprétations (problème mal posé).
Alors ?

[gg0]

En général, quand des personnes compétentes (Tryss, Feanorel) donnent des avis différents sans se contredire, c'est que la question est mal posée, qu'il est possible de la penser de différentes façons.

Cordialement.

[minushabens]

Bonjour
Dlzlogic dit que c'est 4 (sans preuve, mais en refusant ma solution, je ne comprends pas), Tryss dit 8 en utilisant la loi de Poisson, Feanorel dit que l'énoncé est source de multiples interprétations (problème mal posé).
Alors ?

A mon avis le problème pose deux questions:
1) proposer une modélisation probabiliste.
2) analyser ce modèle probabiliste.

Le modèle que tu proposes (1 demande tous les 13 jours) n'est pas faux mais je le trouve insuffisant. Si je devais corriger ta copie je me dirais que tu ne t'es pas foulé. L'analyse que tu en fais est correcte (mais comme le modèle est simpliste l'analyse est trop facile).
Le modèle de Tryss est plus conforme à ce qu'attendrait un prof de probas.
La réponse "4 sans preuve" de dlzlogic n'a aucune valeur. Lui aurait un zéro pointé (mais je ne suis pas prof de probas)

[Dlzlogic]

Bonjour,
Il me semble que c'est le moment de donner mon explication.
On sait, c'est l'énoncé, que le nombre de pièces à "réparer" dans l'année est 27. Par contre, on n'a aucune information, et pour cause, sur la fréquence ou sur la régularité des pannes. Il me semble acceptable, sans prendre de risque de faire des hypothèses fantaisistes, de considérer que le jour d'arrivée de la panne est aléatoire.
D'autre-part, le problème du temps de réparation complique l'énoncé. Il s'agit en effet d'un temps d'immobilisation fixe, dans un contexte d'évènement aléatoire.

Compte tenu de ces points, j'ai fait une simulation en représentant strictement l'énoncé et en adoptant un stock de 4 pièces que j'avais calculé par ailleurs.
J'ai fait tourner cette simulation un grand nombre de fois et le stock de 4 a toujours été suffisant.
C'est une petite simulation assez amusante à faire. Je sais bien que ce n'est pas une démonstration, mais plutôt une vérification.
J'essayerai de répondre à toutes les questions.

Pour mémoire, lorsque cet énoncé a été proposé, il y a quelques années sur un autre forum, le demandeur a reçu une réponse d'une demi-page où la conclusion était en gros "pour être sûr, il faut prévoir un stock de 27 pièces". La réponse du demandeur a été quelque-chose comme "Eh, be, houa".
Je l'ai proposé ailleurs, sans grand succès positif.
Cet énoncé ne parait particulièrement intéressant dans le sens où il reflète exactement les préoccupations de la gestion de stock.

[Tryss2]

D'autre-part, le problème du temps de réparation complique l'énoncé. Il s'agit en effet d'un temps d'immobilisation fixe, dans un contexte d'évènement aléatoire.

Je ne vois absolument pas ce que le temps d'immobilisation d'une machine chez le client viens faire là dedans... Ce qui prouve bien que l'énoncé n'est pas absolument clair.

Le client veut sa pièce en moins d'un mois, mais ça n'est pas dit que la machine n'est pas encore immobilisée 6 mois le temps d'effectuer les réparations

[invitebb20e0c7]

Compte tenu de ces points, j'ai fait une simulation en représentant strictement l'énoncé et en adoptant un stock de 4 pièces que j'avais calculé par ailleurs.

bonsoir, vous aviez calculé un stock de 4. Mais comment ? quel calcul ?
Vous faites une simulation : comment avez-vous simulé les jours de panne ? par quels tirages aléatoires ?

Et vous avez dit vous-même que 4 n'était pas suffisant si beaucoup de retours de panne se faisaient le même jour. Tout ça a l'air contradictoire.

[Dlzlogic]

@ Tryss,
Si l'énoncé est incomplet, que faudrait-il y rajouter comme information par exemple ?

@ Max,
On a déjà énormément parlé de ce problème. Concernant le calcul de 4, je ne l'ai plus en tête et j'ai pas envie de chercher.
Bien-sûr, j'ai dit que 4 n'était pas suffisant si [...], c'était juste pour contrer gentiment le calcul simplifié et provoquer une réflexion concernant les pannes aléatoires. D'ailleurs, j'ai repris l'argument d'un autre intervenant, tout en sachant pertinemment que cet argument et faux.

Il me semble que le plus simple pour s'en convaincre est encore de faire la simulation. Attention, la fonction rand de certains logiciels est douteuse. Mais je suppose que sur un nombre d'essais suffisant, le résultat peut être acceptable.