Bonjour, je suis face a un petit probleme d'algebre sur les groupes :
soit (G,.) un groupe,
Soient x,y appartenant a G tels que xy=yx et que o(x)=n et o(y)=m
montrer qui si m et n sont premiers entre eux o(xy)=mn
puis que dans le cas general o(xy) divise le ppcm (m,n)
j'ai montrer que xy etait d'ordre fini,
je pense a utiliser le theoreme de lagrange pour le reste mais je ne vois pas comment.
Merci pour votre aide
Puisque x et y commutent, dans la puissance (xy)^k tu peux réarranger les facteurs de façon à faire apparaître des puissances de x et de y. Du coup il est évident que tous les (xy)^k pour 0<=k<=(mn-1) sont distincts, et par ailleurs il est clair que (xy)^(mn)=x^(mn)y^(mn)=1.
mais comment utiliser l'hypothèse m et n premiers entre eux ?
merci
si par exemple m=4 et n=6 (xy)^12=x^12y^12=1
oui mais 4 et 6 ne sont pas premier entre eux
ce que vous faites montre seulement que o(xy) est majoré par mn
Ou bien je me trompe ?
m et n sont premiers entre eux si et seulement il existe u et v tels que un + vm=1Envoyé par jackgre
c'est ce qu'on appelle Relation de Bézout.
c'en est deprimant je ne vois pas comment utiliser cela.
Faut il utiliser le theoreme de lagrange ? si oui sur quels groupes
merci
une autre aide svp ?
Bonsoir,
Regarde ici : http://www.les-mathematiques.net/b/b/d/node2.php , vers la fin.
Merci , mais qu'est ce qu'un groupe engendré par un élément.
Merci
Un sous groupe engendré par un élémentd'un groupe
