Bijectivité d'une restriction

[jackgre]

Bonjour,
Voici mon problème:
soit m,n >1 des entiers tels que pgcd(m,n)=1
Soit f : [|0,m-1|]*[|0,n-1|] ---->[|0,mn-1|]
(a,b) |----> reste de la division euclidienne de an+bm par mn

Après avoir montrer que f était surjective et injective l’énoncé me propose cette question:
montrer que f induit une bijection fbarre de En*Em sur Emn
où En= { 1<=k<= n, pgcd(k,n)=1}

Si je comprends bien fbarre est une restriction de f,
l'injectivité est donc de induite,
cependant j'ai un problème quand à la définition de la fonction, Pourquoi est elle bien définie ?
Et de plus comment prouver la surjectivité
Merci de m’éclairer.
-----

[minushabens]

La restriction d'une bijection à un sous-ensemble A de l'ensemble de départ est forcément une bijection de A dans l'image de A. Il te reste juste à montrer que l'image de En*Em est Emn.

[gg0]

Bonjour.

Tu restreins f à Em x En (*), où Em est l'ensemble des éléments de [|0,m-1|] qui n'ont pas de facteur commun avec m, et En est l'ensemble des éléments de [|0,n-1|] qui n'ont pas de facteur commun avec n. Bien évidemment, il te faut prouver que f((k,l) est élément de Emn pour prouver que la restriction est correctement définie.
Je te laisse y réfléchir.
Ensuite, il restera à prouver effectivement la surjectivité.

Bon travail !

(*) et pas à En x Em à cause de ta définition initiale de f

[jackgre]

Merci de vos réponses,
J'ai beau essayer mais je n'arrive pas a montrer que le reste de la division euclidienne de km+nl par mn ( avec k premier avec n et l avec m) est premier avec mn. J'ai essayer bezout, de faire les divisions eulidiennes des facteurs mais rien ne semble fonctionner

Une piste peut etre ?
merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Que tu prennes le reste ou directement kn+lm (attention à l'ordre des lettres, pas km+nl), ça ne change rien. Suppose que pgcd(kn+lm,mn)=c>1. Alors c divise m et pas n ou n et pas m (hypothèse de base sur m et n). Par exemple il divise m, il divise aussi kn+lm, donc il divise kn, donc il divise k; donc k et m ont un diviseur commun différent de 1, ce qui n'est pas possible par définition de k.
Donc kn+lm et mn sont premiers entre eux.

A toi de chercher la suite.

[jackgre]

merci beaucoup, cela me debloque enfin,
grace a cela on montre grace au theoreme de Bezout que mn et r sont premiers entre eux, c'est a dire que r est dans Emn
Encore merci