Peut on jeter la loi faible des grands nombres à la poubelle?

[zaskzask]

Bonjour

Je lis le livre de probabilité de Durrett et je ne comprends pas si la loi forte des grands nombres est simplement une généralisation de la loi faible des grands nombres.

loi faible des grands nombres:

Soit des variables aléatoires ("pairwise independent") identiquement distribués avec

Alors presque partout lorsque .

loi forte des grand nombres:


Soit des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribués avec


Alors en probabilités lorsque .

Puisque la convergence presque sûre implique la convergence en probabilité et que les conditions de la loi forte sont moins forte, la loi forte serait une généralisation?
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[zenxbear]

oui tu peux. mais certains s'en fichent de la loi forte car ne l'utilisent pas, donc garde la loi faible.

[Dlzlogic]

Bonjour,
Selon mes sources, c'est Bernoulli qui a posé la loi des grands nombres.
Il semble que certains ont jugé intelligent d'y ajouter un qualificatif qui en fait n'est qu'une appréciation assez subjective.
Dans le même esprit, une moyenne est arithmétique, géométrique, pondérée etc. mais certainement pas empirique. Ce qui peut être empirique c'est la méthode pour l'obtenir.
Par contre, on parle ici de la moyenne. Il s'agit naturellement de la moyenne arithmétique. Il semble qu'on ne se pose pas souvent la question, la réponse est le postulat de la moyenne. Cette notion fondamentale est souvent "oubliée".
Bonne journée.

[minushabens]

bonjour,

en fait sous les noms de "loi faible des grands nombres" et "loi forte des grands nombres" on regroupe un certain nombre de théorèmes avec diverses conditions mises sur la suite de v.a.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Dlzlogic]

@ Minushabens,
Pourquoi pas, mais il semble que la loi des grands nombre ne comporte qu'une seule hypothèse.
Si celle(s)-ci regroupe(nt) plusieurs théorèmes, ils sont donc d'un niveau supérieurs à cette loi. Il me parait utile de les préciser.

[feanorel]

Commençons par poser des définitions :
Soit une suite de variable aléatoires à valeurs réelles. On note la moyenne empirique (notion très largement utilisée par les probabiliste et statisticiens) des n première valeurs de la suite. Les lois des grands nombres donne des conditions de convergence de la suite des variables aléatoires

Dans les cours Français classique la loi faible des grands nombre consiste à dire :
Si les X_i sont i.i.d et d'espérance finie, alors converge en proba vers l'espérance de .

La loi forte a exactement les mêmes hypothèses mais un résultat plus fort puisqu'elle prouve une convergence presque sûre. (La démonstration est cependant plus difficile et nécessite parfois la version faible si ma mémoire est bonne).

Il existe de nombreuses généralisations qu'on appelle aussi communément loi des grands nombres. Parmi ces généralisations on voit des hypothèses comme :
- affaiblir l'indépendance (pour se contenter de non-corrélation)
- remplacer le "identiquement distribuée" par des conditions sur les espérances (on converge alors vers la moyenne des espérances) etc...
Exemple : Kolgmorov strong law : Si les sont indépendantes à variance finie telle que alors tends vers 0 presque sûrement.

Parmi ces généralisations certaines ne donnent qu'une convergence en proba.

On peut aussi obtenir des convergence uniformes, fort utiles en optimisation par exemple.

[Dlzlogic]

Bonsoir,
Certaines réponses à ce fil me posent un problème.
Très nettement il est dit que pour deux lois différentes, les hypothèses sont le mêmes et que les conclusion de ces deux lois sont différentes.
Alors quelle est la différence et qui choisit les conclusions, l'analyste ?

[minushabens]

Très nettement il est dit que pour deux lois différentes, les hypothèses sont le mêmes et que les conclusion de ces deux lois sont différentes.

ce n'est pas un problème en soi: considère ces deus propositions:
1) si x et y sont deux réels tels que 1<x<y alors x^2<y^2
2) si x et y sont deux réels tels que 1<x<y alors x^4<y^4
mêmes hypothèses et conclusions différentes.

mais dans le cas des lois des grands nombres, comme je disais il y a plusieurs versions avec des hypothèses différentes et on peut construire un exemple de suite vérifiant une loi faible mais pas de loi forte.

[Dlzlogic]

Bonjour minushabens,
Merci pour ta réponse. On pourrait traduire 1) et 2) par si x et y sont deux réels tels que 1<x<y alors x^2<y^2 et x^4<y^4 etc. (j'ai bien noté 'et' et pas 'ou').
ou par : si x et y sont deux réels tels que 1<x<y alors x^n<y^n quel que soit n >= 0
D'autre part, cette "loi" avec x et y concerne une partie des mathématiques abstraites, théorique, alors que les probabilités constituent une théorie très concrète, basée sur le réel et dont on peut vérifier à tout moment les effets, sans choix de l'analyste et sans interprétation personnelle. A titre d'exemple, l'usure des seuils de vielles maison, de marches d'un escalier égyptien etc.
D'ailleurs, comme je l'ai déjà dit, la loi des grands nombre étant au plus haut niveau de la hiérarchie, il ne peut pas y avoir de théorème de plus haut niveau.
Des exemples concrets seraient bien venus.

[PrRou_]

la loi des grands nombre étant au plus haut niveau de la hiérarchie, il ne peut pas y avoir de théorème de plus haut niveau.

Donc les chercheurs en proba-stats sont payés à rien faire, si ce n'est démontrer des théorèmes de niveau inférieur à celui de la loi des grands nombres... Bravo pour cette révélation !
Pour ma part, je considère que la loi des grands est un théorème de niveau "débutant en proba" : c'est l'un des premiers théorèmes étudié en classe au lycée.

[minushabens]

Des exemples concrets seraient bien venus.

un exemple tiré de Stoyanov.

commençons par deux définitions:
si (Xn) est une suite de variables aléatoires, on pose Sn=X1+...+Xn et An=ESn (l'espérance de Sn)

alors on dit que la suite (Xn) vérifie la loi faible des grands nombres ssi Sn/n-An/n -> 0 en probabilité
on dit que la suite (Xn) vérifie la loi forte des grands nombres ssi Sn/n-An/n -> 0 presque sûrement.

maintenant on considère la suite de v.a. indépendantes (Xn) suivante: Xn ne prend que les valeurs -n,0,n avec P(Xn=n)=P(Xn=-n)=1/(2nLog(n)) et P(Xn=0)=1-1/(nLog(n))

l'événement Bn={|Xn|>=n} a la probabilité P(Bn)=1/(nLog(n)) et donc la série des P(Bn) diverge et donc par Borel-Cantelli (la réciproque) P(lim sup Bn)=1 et donc P(lim Sn/n=0)<1

d'un autre côté on peut montrer que la suite (Xn) vérifie la loi faible, mais je te laisse la preuve en exercice (en fait j'ai la flemme de taper les intégrales en TeX)

[Dlzlogic]

Bonjour, minushabens,
Quand je demandais des exemples, je voulais dire des exemples du monde réel, type usure des marches d'escalier ou de seuil, gestion de stock etc.
Tes exemples sont des exemples abstraits qui font plus référence aux proportions qu'au probabilités.
D'autre part, j'ai passé l'age de faire exercices, et depuis longtemps.
En fait, on ne parle pas de la même-chose. C'est le point fondamental, de départ, le plus haut de la hiérarchie, quelque soit son nom, qui n'est pas le même. LA MOYENNE. Pour toi, elle est empirique, c'est à dire, on l'adopte, mais on ne sait pas pourquoi, c'est une définition qu'on se garde bien de citer, pour moi, c'est un postulat : la moyenne arithmétique est la valeur la plus probable. On l'a décidé par des moyens empiriques (je suppose que c'est de là que vient ce fameux qualificatif), puis on a vérifié et démontré qu'on a fait le bon choix.
Un petit exemple de vérification facile : on tire à pile ou face un grand nombre de fois, on groupe les résultats par 6 issues successives pour former des nombres de 0 à 64. On calcule la moyenne arithmétique, l'écart type et on vérifie que les écarts à la moyenne du nombre d'occurrence de chaque nombre est conforme à la loi normale. Dans ce cas, on applique la loi des grands nombres, la faible ou la forte (?) et le TCL, naturellement, puisque c'est le Théorème Central.

[Tryss2]

On calcule la moyenne arithmétique, l'écart type et on vérifie que les écarts à la moyenne du nombre d'occurrence de chaque nombre est conforme à la loi normale.

Et si ça n'est pas le cas?

[PrRou_]

Et si ça n'est pas le cas?

c'est qu'on confond bêtement la loi normale et la loi uniforme

[PrRou_]

Un petit exemple de vérification facile : on tire à pile ou face un grand nombre de fois, on groupe les résultats par 6 issues successives pour former des nombres de 0 à 64. On calcule la moyenne arithmétique, l'écart type et on vérifie que les écarts à la moyenne du nombre d'occurrence de chaque nombre est conforme à la loi normale.

Utiliser 6 chiffres en base 2 fournit des nombres aléatoirement entre 0 et 63 (pas 64) selon la loi uniforme.
La théorie dit : moyenne 31.5 , écart-type 341.25^0.5
Fais tes tirages de nombres entre 0 et 63, tu verras...

25, 22, 33, 11, 0, 10, 5, 40, 33, 33, 15, 59, 25, 48, 26, 37, 60, 5, 43, 21, 38, 62, 10, 45, 61, 21, 46, 6, 33, 54, 55, 41,
36, 3, 10, 17, 28, 4, 5, 55, 59, 18, 5, 0, 30, 8, 5, 45, 21, 15, 13, 20, 3, 3, 19, 13, 17, 21, 9, 3, 34, 8, 19, 23, 51, 39, 22,
53, 20, 26, 57, 30, 51, 55, 34, 33, 47, 22, 33, 28, 32, 53, 45, 18, 50, 44, 15, 14, 19, 48, 35, 13, 29, 35, 29, 9, 12, 51, 44, 27
moyenne de cette série = ...
ecart-type de cette série = ...