Loi faible des grands nombres et la loi normale

[jojoxxp4]

Bonjour,

Quel lien existe entre la loi faible des grands nombres et la loi normale ?


Merci d'avance!
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[gg0]

Bonjour.

Pourquoi y aurait-il un lien ? Cependant, comme pour tout couple de notions mathématiques du même domaine, on peut fabriquer artificiellement des liens.
Donc si tu as une question précise, on verra ...

Cordialement.

[gg0]

En complément,

on peut démontrer la loi faible des grands nombres en utilisant le théorème limite central. Mais comme la loi faible des grands nombres se démontre par des moyens élémentaires (essentiellement l'inégalité de Bienaymé Tchebychev), c'est un énorme détour inutile.

Cordialement.

[silk78]

Si je ne me trompe pas, pour compléter un peu le dernier message de gg0 : la loi des grands nombres dit que lorsque l'on réalise un très grand nombre de fois la mesure d'une valeur suivant une même loi de probabilité, la moyenne des valeurs obtenues va s'approcher de l'espérance de cette loi ; le théorème central limite précise un peu plus ce résultat en montrant que pour un très grand nombre de tirages, la loi de répartition de cette moyenne va s'approcher d'une loi normale centrée en l'espérance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[jojoxxp4]

Sur Wikipédia, il est indiqué que:

" L'origine de la loi normale remonte aux travaux de Jacques Bernoulli sur son théorème d'or, appelé aujourd'hui loi des grands nombres, publié dans son œuvre Ars Conjectandi en 1713. Il y calcule des probabilités liées à des paris sur des jeux de pile ou face, notamment le calcul de la probabilité que la moyenne du nombre de pile soit proche de la moyenne théorique 1/2, calcul dans lequel apparait le calcul de factorielles. "


Voilà, je ne vois pas comment la convergence de la moyenne empirique de variables aléatoires indépendantes ayant même espérance et variance vers l’espérance mathématique pourrait être à l'origine de la loi normale ?

[gg0]

Wiki te dit que c'est à l'origine de la loi Normale, ce qui semble confondre la convergence de la valeur (loi faible) avec la convergence de la répartition (Théorème central). Il vaut mieux étudier la théorie que les pages Wikipédia mal faites.

Soit tu connais un peu de théorie probabiliste, et tout est assez simple, soit tu regardes ces notions de loin, sans connaissance précise, et ta question est mal posée. Car chacun de ces deux théorèmes, une fois compris, permet de bien comprendre (que ce sont des points de vue différents).

Encore une fois, il faut que tu explicites quel est ton vrai problème ....