Topologie - Voisinage

[invite97a526b6]

Bonjour,

Voici la df des voisinages d'un pt d'un espace topo selon le bouquin de Wallace p. 17 :

E espace topo,
1. Si U est un voisinage de p, alors p € U
2. Tout sous-ensemble de E contenant un voisinage de p est lui-même un voisinage de p
3. Si U et V sont des voisinages de p, alors U int V en est aussi un
4. Si U est un voisinage de p, il existe un voisinage V de p tel que U soit voisinage de chaque pt de V

Voici ma question :
D'après ces 4 conditions de cette df, un voisinage d'un point n'est pas forcément un ouvert et peut même contenir ce point sur sa frontière.
C'est cela qui m'étonne fort ...?

Quelqu'un peut-il m'éclairer, merci d'avance.
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[invite9dc7b526]

Ce sont des propriétés que vérifient les voisinages mais pas une définition. L'ensemble des parties de E contenant p vérifie ces propriétés, mais {p} n'est généralement pas un voisinage de p.

[invite97a526b6]

Ce sont des propriétés que vérifient les voisinages mais pas une définition. L'ensemble des parties de E contenant p vérifie ces propriétés, mais {p} n'est généralement pas un voisinage de p.

Pourtant {p} vérifie les 4 points de la df de Wallace. C'est donc un voisinage de p selon cette définition.

[invite47ecce17]

Bonjour,
Peux tu recopier la définition?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Fanfan, il faut lire ce qu'on t'écrit.

Si Wallace dit que ceci est une définition de "voisinage", c'est une erreur de sa part. Je soupçonne que c'est plus compliqué que cela.

Il y a bien une topologie dans laquelle {x} est toujours un voisinage de x, quel que soit x, elle s'appelle la topologie discrète. Dans d'autres topologies, en général, {x} n'est pas un voisinage de x.

Si tu as des doutes, scanne la ou les pages de ton bouquin qui parlent des voisinages.

Cordialement.

[invite97a526b6]

Fanfan, il faut lire ce qu'on t'écrit.

Si Wallace dit que ceci est une définition de "voisinage", c'est une erreur de sa part. Je soupçonne que c'est plus compliqué que cela.

Il y a bien une topologie dans laquelle {x} est toujours un voisinage de x, quel que soit x, elle s'appelle la topologie discrète. Dans d'autres topologies, en général, {x} n'est pas un voisinage de x.

Si tu as des doutes, scanne la ou les pages de ton bouquin qui parlent des voisinages.

Cordialement.

Voila le scan

[invite47ecce17]

Bon, ben y a pas de souci avec cette définition (elle est pas super pratique a manier en pratique mais elle est correcte).
Quel est ton probleme?
Si tu veux t'en convaincre fais l'exercice suivant:
Prend E un espace topologique au sens de ton bouquin, appelle ouvert, tout ensemble voisinage de chacun de ses points. Verifie que la classe des ouverts satisfont les axiomes usuels d'une topologie (stabilité par réunion quelconque et intersection fini, et y a le vide et le plein).
Tu peux faire le sens inverse également.

[gg0]

En fait, le texte ne dit pas que n'importe quoi qui vérifie les 4 propriétés est un voisinage, mais que les voisinages sont exactement les éléments d'une famille de parties de E qui vérifie les 4 propriétés.
C'est même un peu plus compliqué : Pour chaque point de E, il y a une sous-famille (les "voisinages de ce point") qui vérifie cette propriété.

Cette définition par les voisinages est pratique, mais ce n'est pas la plus pratique, on préfère généralement définir les topologies par les ouverts, et on appelle topologie sur E l'ensemble des ouverts.
Avec ta définition par les voisinages, les ouverts sont les parties de E qui sont voisinages de tous leurs éléments. Avec la définition par les ouverts, si O est un ouvert contenant p, toute partie de E qui contient O est un voisinage de p.

Ce qui t'a perdu, c'est que tu as restreint le mot "voisinage" aux 4 propriétés, alors que la définition complète est nécessaire.

A savoir : Sur un ensemble, il y a généralement différentes topologies possibles. Donc si x est un élément de la partie A de E, suivant les circonstances, A sera un voisinage de x ou pas, suivant la topologie qu'on a choisie sur E.

Cordialement.

[invite97a526b6]

En fait, le texte ne dit pas que n'importe quoi qui vérifie les 4 propriétés est un voisinage, mais que les voisinages sont exactement les éléments d'une famille de parties de E qui vérifie les 4 propriétés.
C'est même un peu plus compliqué : Pour chaque point de E, il y a une sous-famille (les "voisinages de ce point") qui vérifie cette propriété.

Cette définition par les voisinages est pratique, mais ce n'est pas la plus pratique, on préfère généralement définir les topologies par les ouverts, et on appelle topologie sur E l'ensemble des ouverts.
Avec ta définition par les voisinages, les ouverts sont les parties de E qui sont voisinages de tous leurs éléments. Avec la définition par les ouverts, si O est un ouvert contenant p, toute partie de E qui contient O est un voisinage de p.

Ce qui t'a perdu, c'est que tu as restreint le mot "voisinage" aux 4 propriétés, alors que la définition complète est nécessaire.

A savoir : Sur un ensemble, il y a généralement différentes topologies possibles. Donc si x est un élément de la partie A de E, suivant les circonstances, A sera un voisinage de x ou pas, suivant la topologie qu'on a choisie sur E.

Cordialement.

Ce qui t'a perdu, c'est que tu as restreint le mot "voisinage" aux 4 propriétés, alors que la définition complète est nécessaire.
Wallace propose ces 4 propriétés comme définition d'un voisinage. C'est à dire que toute partie de E qui possède ces 4 propriétés est un voisinage de p et que tout voisinage de p possède ces 4 propriétés.
Donc selon cette définition {p} par exemple est voisinage de p.

[Médiat]

Bonjour,

La définition dit qu'un sous-ensemble doit vérifier une certaine liste de propriétés pour pouvoir être un voisinage, pas que tous les sous-ensembles qui vérifient ces propriétés sont des voisinages.

Autrement dit, la phrase "C'est à dire que toute partie de E qui possède ces 4 propriétés est un voisinage de p" est fausse.

En remarquant que {p} vérifie les conditions, vous remarquez qu'il est possible de définir une topologie en déclarant que tous les singletons sont des voisinages (d'eux-même), et c'est exact : la topologie discrète.

On pourrait définir une autre topologie en déclarant que pour tous les points p de E, seul E est un voisinage de p (topologie grossière)

[gg0]

Wallace propose ces 4 propriétés comme définition d'un voisinage.

Non, tu lis mal. Ce qui est défini, c'est un espace topologique. Et c'est défini par l'existence pour chaque élément p de E d'une famille non vide de parties de E (les voisinages de p) qui vérifie les 4 propriétés.
Donc les voisinages de p vérifient les 4 propriétés, mais les 4 propriétés peuvent aussi être vérifiées par des parties de E qui ne sont pas des voisinages de p.

C'est à dire que toute partie de E qui possède ces 4 propriétés est un voisinage de p

Non, ce n'est pas écrit dans le passage que tu as cité. Seulement que les voisinages, eux, possèdent ces propriétés.
D'ailleurs, si c'était ça la définition d'un voisinage, toute partie de E serait un voisinage, la notion n'a plus d'intérêt, puisque tu aurais "voisinage de p"="contient p". Pas Besoin de nouveau mot.

On définit une topologie en choisissant, parmi toutes les possibilités, pour chaque point de l'espace topologique, celle que l'on veut pour les voisinages :
*Topologie grossière : Le seul voisinage de p est E
*Topologie discrète : toutes les parties contenant p sont des voisinages de p
* Une topologie sur {a,b,c} : Les voisinages de a sont {a},{a,b},{a,c}, {a,b,c}; les voisinages de b sont {b,c} et {a,b,c}, ceux de c sont {b,c} et {a,b,c}.
* Une topologie sur R : Les voisinages de x sont toutes les parties de R qui contiennent un intervalle ouvert contenant x, par exemple R, ou [x-2;x-1]union]x-0,1;x+0,2[, ou [x-1;x+2].

Je te laisse prouver que la définition (complète) s'applique à chaque fois et qu'on définit bien un espace topologique.

Cordialement.

[invite97a526b6]

Bonjour,

La définition dit qu'un sous-ensemble doit vérifier une certaine liste de propriétés pour pouvoir être un voisinage, pas que tous les sous-ensembles qui vérifient ces propriétés sont des voisinages.

Autrement dit, la phrase "C'est à dire que toute partie de E qui possède ces 4 propriétés est un voisinage de p" est fausse.

En remarquant que {p} vérifie les conditions, vous remarquez qu'il est possible de définir une topologie en déclarant que tous les singletons sont des voisinages (d'eux-même), et c'est exact : la topologie discrète.

On pourrait définir une autre topologie en déclarant que pour tous les points p de E, seul E est un voisinage de p (topologie grossière)

Une définition est une équivalence. Donc ce que Wallace nomme DÉFINITION 1 n'est pas en réalité une définition mais, d'après ce que vous dites, une liste de propriétés auxquelles doit satisfaire un voisinage.
Ce n'est pas, selon vous, une définition d'un voisinage, malgré le terme DÉFINITION 1 en titre du paragraphe !
Le titre du paragraphe devrait être alors : "PROPRIÉTÉS D'UN VOISINAGE". C'est ce que je comprends...

Merci à tous pour vos interventions pertinentes.

[invite9dc7b526]

Je crois que tu as mal compris ce qu'a écrit gg0.

Wallace définit un espace topologique comme un ensemble E muni d'un certain sous-ensemble de l'ensemble de ses parties, disons V, qui vérifie les 4 propriétés énoncées. En ce sens c'est bien une définition. Si tu ne regardes que les 4 propriétés et que tu définis un espace topologique de la façon usuelle (avec les ouverts) alors les voisinages (déduits des ouverts) vérifient ces propriétés mais il y a d'autres parties de E qui les vérifient aussi: en ce sens elles ne définissent pas les voisinages.

[Médiat]

Donc ce que Wallace nomme DÉFINITION 1 n'est pas en réalité une définition mais, d'après ce que vous dites, une liste de propriétés auxquelles doit satisfaire un voisinage.

C'est bien la définition d'une famille de voisinages (c'est écrit en toutes lettres dans votre document)

[Deedee81]

Salut,

Ce n'est pas, selon vous, une définition d'un voisinage, malgré le terme DÉFINITION 1 en titre du paragraphe !
Le titre du paragraphe devrait être alors : "PROPRIÉTÉS D'UN VOISINAGE". C'est ce que je comprends...

Le titre est "définition d'un espace topologique" (= définition d'une famille de voisinages) et pas "définition d'un voisinage". Il n'y a pas confusion. C'est marqué en toutes lettres : 1. Définition d'un espace topologique [...] La définition formelle est la suivante [...] Définition 1 [...] Un espace topologique est [...]

Je ne sais vraiment pas pourquoi tu as pris ça pour une définition des voisinages, ce n'est pas le cas.

Et un espace topologique est un ensemble de parties appelées voisinages, ceux-ci devant respecter les propriétés énoncées.
Et non pas que "toute partie respectant ces propriétés est un voisinage", ça c'est faux.
Ce qui est ou pas un voisinage est un choix arbitraire, tant que les propriétés sont respectées.

La définition d'un voisinage est donc :
- fait partie d'une liste de parties choisie au départ (pour construire une topologie)
ET
- respecte les propriétés énoncées

Le ET est capital.

[Deedee81]

Je précise que cette façon de procéder est courante en mathématique. Il faut absolument s'y habituer. On retrouve ça aussi dans les mesures par exemple.
On dit "Définition de X = un ensemble de Y [sous-entendu arbitraire] obéissant aux propriétés Z [sous-entendu une contrainte au choix arbitraire]"
La définition concerne X (la topologie, la famille de voisinage ci-dessus) et non Y (le voisinage ci-dessus).

[invite97a526b6]

Ok Merci à tous d'avoir pris le temps de m'expliquer. Je crois avoir compris :

A chaque topologie définie sur E correspond une famille de voisinages propre à cette topologie, laquelle famille vérifie les 4 propriétés.

[Médiat]

Absolument, de la même façon qu'à chaque groupe défini sur un ensemble E correspond le graphe d'une opération vérifiant les axiomes d'un groupe.