Ordre d'un produit dans Groupe

[slivoc]

Bonsoir,

Je bloque sur une question d' un exercice et je ne vois pas du tout comment y répondre :
Soit G un groupe, a et b deux éléments d'ordres finis dans G tels que ab=ba. Montrer que si les ordre de a et de b sont premiers entre eux, l' ordre de ab est égal au ppcm des ordres de a et de b.

On a montré avant que l' ordre de ab divise le ppcm des ordres de a et de b.
J' ai essayé de montrer que l' ordre de ab était un multiple commun des ordres de a et de b, j' ai aussi essayé en supposant que l' ordre de ab était strictement plus petit au ppcm des ordres, mais sans réussite.
Je serai bien preneur d' une piste pour pouvoir finir l' exercice, merci !

Bonne soirée.
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[gg0]

Bonjour.

Si a et b sont premiers entre eux, quel est leur ppcm ?

Cordialement.

[minushabens]

Il faut utiliser le fait que a et b commutent. La suite (ab)^k devient a^kb^k. Et a^kb^k = 1 si et seulement si a^k=1 et b^k=1 car sinon on aurait par exemple un b^l dans le groupe engendré par a et par suite les ordres de a et b ne seraient pas premiers entre eux.

[slivoc]

Merci !

gg0: j' ai du manquer de clarté: je voulais dire que l' ordre de a est premier avec l' ordre de b, pas que a et b étaient premiers entre eux.

minushabens: Je ne voyais pas pourquoi les groupes engendrés par a et par b étaient d' intersection réduite au neutre, mais maintenant c' est bon !
Bonne soirée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

C'est moi qui n'étais pas clair : je voulais parler des ordres, j'ai repris les lettres utilisées pour les éléments.