Prouver que h peut être prolonger continuellement

[clairehd]

Bonjour,

je cherche à prouver que l'on peut prolonger de façon continue h sur (a,b)².
J'ai commencé une preuve mais je n'arrive pas à le faire pour (a,b)² spécifiquement. Pourriez vous m'aidez svp ?

VOici l'énoncé :
Soit f et g deux fonctions dérivables et de dérivées continuees sur [a,b] ouvert. Supposns que g' n'est pas égal à 0.
Soit h définie sur E = {(x,y) in (a,b)² : x différent de y}
et h(x,y) = (f²(x) - f²(y))/ ((g(x)-g(y))

Voici le début de ma démonstration :
J'ai dérivé selon x puis selon y, h(x,y). J'ai ainsi obtenu h'(x,y)= (f'(x).f(x)-f'(y).f(y)) / (g'(x)-g'(y))
Puis je dis que comme f & g sont dérivables et de dérivées continues, h' existe et est continue. Donc h est continue.
Je l'ai démontré pour (x,y) mais comment le montrer pour (a,b)² ?
Je ne comprends pas bien la question et son intéret.

Merci d'avance pour votre aide,
-----

[gg0]

Bonjour.

Que signifie la notation (a,b)² ? Comme elle peut avoir plusieurs signification, il faut que tu précises.

Sinon, là où h est définie, elle est continue comme composée avec des fonctions continues. Donc la question du prolongement ne se pose que pour x=y. Pour simplifier, on va prendre un c compris entre a et b. Puis il faut déterminer la limite de f quand (x,y) tend vers (c,c) (*).
Je n'ai pas compris pourquoi tu dérivais, ça n'a rien à voir avec la question. Sans compter que ta "dérivée" est manifestement fausse (revoir la dérivation d'un quotient). Évite de faire ce genre de choses (des calculs sans raisons et sans appliquer les règles), tu perds ton temps. Quand tu ne sais pas trop quoi faire, revois tes cours.

NB1 : Tu est sûr que "Supposons que g' n'est pas égal à 0" est ton énoncé ???
NB2 : Il peut être utile de diviser haut et bas par (x-y).

Cordialement.


(*) je viens d'utiliser la même notation que ton (a,b) de (a,b)², manifestement pour un autre usage

[clairehd]

Oui je suis sûre que g' est différent de 0. C'est écrit noir sur blanc dans mon énoncé.

Merci pour ton aide, je crois avoir trouvé.
Je n'avais pas vu que le prolbème était en x=y.
Donc maintenant que j'ai compris ça, le problème revient à chercher la limite de f quand (x,y) tend vers (x,x) dans (a,b)
Comme x et y sont dans (a,b) (notre interval), je peux utiliser le théorème de la valeur intermédiaire qui dit que pour tout (x,y), (x',y') dans l'interval (a,b) et chaque Y0 compris entre f(x,y) et f(x',y'), il existe un X0=(c,d) dans (a,b) tel que f(X0)=y0.

Donc f(x,y)=(x,x) existe forcément dans (a,b).

C'est bien cela ?

[ansset]

non, c'est bien insuffisant voire faux
tu peux écrire x=y+e ( je n'écris pas h pour éviter la confusion )
et faire tendre e vers 0
par ailleurs remarquer que f²(x)-f²(y)=(f(x)-f(y))(f(x)+f(y))
et enfin suivre le conseil de gg0 en divisant h(x,y) haut et bas par x-y=e
( ce qui te permettra d'utiliser les dérivabilités des fct f et g )....
a toi .....!

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

1) toujours pas de péponse sur la signification de (a,b). Moi, je connais [a,b], [a,b[, ]a,b] et ]a,b[, mais pas ta notation.

2) "je suis sûre que g' est différent de 0. C'est écrit noir sur blanc dans mon énoncé." Alors il y a un problème. Il n'y en aurait pas si l'énoncé disait que g' ne s'annule pas sur [a, b]

3) " le problème revient à chercher la limite de f quand (x,y) tend vers (x,x) dans (a,b)" Ce n'est pas f, mais h. C'est ton exercice, tu devrais savoir de quoi tu parles.

4) " je peux utiliser le théorème de la valeur intermédiaire qui dit ..." Je ne vois pas le rapport entre ce théorème, inconnu pour moi (mais qui n'est que la traduction de la continuité de f) et ce que tu veux démontrer, puisque justement, tu veux prouver la continuité de h.

5) On dirait que tu n'as même pas essayé de voir ce qui se passe quand (x,y) (avec x et y différents) tend vers (c,c). Malgré mon indication.

6) "Donc f(x,y)=(x,x) existe forcément dans (a,b)." ?????? T'arrive-t-il de lire ce que tu écris ? Même en remplaçant f par h, ça n'a pas de sens, h(x,y) n'est pas un couple de réels.

Allez, mets-toi au travail, utilise les indications.

NB : Dans ton titre, ce n'est pas continuellement (tout le temps) mais "continument" (en une fonction continue)

[clairehd]

J'étudie aux Etats-Unis, veuillez m'excuser pour les fautes de français ou le défaut dans mes traductions. L'énoncé indique g' =/ (le signe du égal barré) 0. Je l'ai certainement mal traduit désolé.

Mon professeur m'a dit d'utiliser le Mean Value Theorem qui dit que pour f continue sur [a,b] et dérivable sur un interval ouvert (a,b) (je n'ai pas les mêmes bornes que vous car je suis sur un clavier anglo saxon), alors il est un c dans (a,b) tel que f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a)
Voici ce que j'ai trouvé avec vos indications :

h(x,y)= (f²(x) - f²(y))/ ((g(x)-g(y)) = (f(x)-f(y)/x-y). (x-y)/(g(x)-g(y)).(f(x)+f(y)
Or comme f et g sont continues et dérivables sur (a,b) (un interval ouvert du coup j'ai un problème pour appliquer le "Mean Value Theorem" avec des fonctions pas frocément continues aux bornes)
il existe un c de (a,b) tel que f'(c)=(f(x)-f(y)/x-y) et g'(c)= (g(x)-g(y))/(x-y)

Donc h(x,y)= f'(c) (f(x)+f(y))/ g'(c)
Lorsque x= y+e avec e qui tend vers 0, on observe que h est bien définie comme produit et quotient de fonctions définies.
Donc on peut prolonger h continuement.

Cela vous semble correct ?

[gg0]

En fait, tu n'as pas besoin vraiment de ce théorème (Théorème des accroissements finis en français), puisque tu peut passer à la limite.
Mais avec ce théorème, pour trouver la limite quand (x,y) tend vers (c,c), il vaut mieux éviter de réutiliser le c de ton théorème (c sert déjà à autre chose), donc plutôt d; et comme f et g n'ont aucune raison de se comporter de la même façon, ce n'est pas le même nombre en haut et en bas, donc on n'utilisera pas d pour g, mais par exemple d' :

Avec d et d' entre x et y.
Et maintenant, il va falloir arriver à (c,c), car tout ça c'était pour x différent de y.
Que se passe-t-il quand (x,y) tend vers (c,c), c'est à dire quand x tend vers c, y tend vers c, mais x reste différent de y ?
Il restera une dernière étape, quand tu auras répondu à la question, on verra à ce moment-là.

Cordialement.

[clairehd]

On obtient lorsque (x,y) tend vers (c,c) que lim h(x,y) = (f'(d).2f(c))/g'(d')
Or on sait que f' et g' sont continues. Et de plus, on sait que f est dérivable donc continue sur (a,b) (intervalle ouvert). En ayant choisi c dans (a,b) on déduit que h est continue en c comme produit de fonctions continues.

C'est correct?

[gg0]

Heu .... C'est qui, d et d' ?

Si a=0 et b = 2, quelle est la limite de h quand (x,y) tend vers (1,1) ?

[clairehd]

Je ne vois pas comment trouver une valeure numérique pour d et d'. On les a choisi pour être deux nombres réels compris entre a et b..

[gg0]

Non !

Tu connais mal ton théorème. D'ailleurs la formulation que tu as donnée au message #3, sans être fausse, est sans grand intérêt, la formulation que tu donnes au message #6 est utile :
"que pour f continue sur [a,b] et dérivable sur un intervalle ouvert ]a,b[ , alors il est un c dans ]a,b[ tel que f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a)".
Deux remarques :
* 6 lignes plus loin, tu n'appliques plus le même théorème !! Si on ne sait rien de c, on n'en fera rien ! C'est bien ce qui t'arrive !!!
* J'ai moi-même appliqué ton théorème, en remplaçant évidemment a et b (déjà utilisés pour autre chose) par x et y au message #7 : "Avec d et d' entre x et y."

Ne reste plus, si tu as vraiment compris ton théorème, qu'à t'en servir pour trouver cette limite, qui est un nombre fixe, qui ne dépend pas de valeurs inconnues d et d'.

A toi de penser.

[emmane]

Bonsoir,
une question de vocabulaire dans le titre :
on ne dit pas "prolonger continuellement" (prolonger de manière continuelle),
mais "prolonger continûment" (prolonger de manière continue).

NB : Dans ton titre, ce n'est pas continuellement (tout le temps) mais "continument" (en une fonction continue)

désolé pour ma redite.

[clairehd]

Oui Oui j'ai bien noté !

Merci beaucoup gg0 pour toutes tes indications.

[gg0]

En conclusion : L'idée du théorème est que c est entre a et b, donc quand tu l'appliques à x et y, d est entre x et y, et si x et y tendent simultanément vers c, d aussi.

Donc tu as trouvé la limite. Reste un problème, tu n'as pas étudié la limite quand (x,y) tend vers (c,c), mais seulement la limite pour x différent de y. Il reste à vérifier que h est vraiment continue, sans condition.

Cordialement.