espace vectoriel algebre

[invitea19e35c1]

bonjour a tous .
j'ai eu un problème lors de mon exercice d’algèbre . veuillez m'aidez a le résoudre .
voici l'exercice :
on a F= vect(u1,u2) et G=vect(v1,v2,v3)
et (u1,u2,v1,v2) est libre .
avec u1=(1,2,0,1) , u2=(1,0,2,1) ,v1=(1,2,1,0),v2=(-1,1,1,1),v3=(2,-1,0,1) , dans R4
on nous demande de montrer que F+G=R4
voici ma réponse je ne sais pas si c correcte ou non
on a F+G=vect(u1,u2)+vect(v1,v2,v3)
=vect(u1,u2,v1,v2,v3)
or (u1,u2,v1,v2)est libre donc F+G=vect(u1,u2,v1,v2)=R4
le problème c au niveau de la dernière ligne .
veuillez m'aidez et merci d'avance pour vos réponses .
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[gg0]

Bonjour.

Quel est le problème ?

Je ne suis pas emballé par ta preuve, il y a plus simple.

Cordialement.

NB : Pourquoi écrire en gras et italique ?

[invitea19e35c1]

bonjour
E + F contient E, donc contient {v 1, v 2}.
E + F contient F, donc contient {w 1, w 2, w 3}.
Or la famille {v 1, v 2, w 1, w 2} est une base de R 4.
Donc E + F = R 4
je veux juste savoir si l'autre methode est correcte ou non .
j'ai juste voulu l'essayer car je suis nouveau ici

[gg0]

J'aurais écrit :
E + F contient E, donc contient v 1 et v 2.
E + F contient F, donc contient w 1 et w 2
Donc E+F contient la famille libre (V1,V2,W1,W2) et est de dimension au moins 4. Comme c'est un sev de R^4, sa dimension est au plus 4 :
Dim(E+F)=4.

Sinon, pour ta première preuve, si tu as des théorèmes sur les sommes de sev engendrés ... Mais j'ai déjà donné mon opinion.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6bfdf32a]

Pas sur de mon coups, mais si on arrive à prouver que a.u1+b.u2+c.v1+d.v2+e.v3 ne peut constituer le vecteur nul dans R4 alors on a une famille libre, et génératrice de R4. Avec a,b,c,d et des réèls.

donc résoudre le système d'équation = (0,0,0,0)

[gg0]

Redrum13,

une des hypothèses est (u1,u2,v1,v2) est libre. donc pas besoin de parler de combinaison linéaire nulle. Et ce que tu dis ne prouve pas que c'est une famille génératrice (revoir la définition). Mais l'analyse des dimensions suffit.

Cordialement.

[invitea19e35c1]

merci pour votre reponse

[invite6bfdf32a]

Redrum13,

une des hypothèses est (u1,u2,v1,v2) est libre. donc pas besoin de parler de combinaison linéaire nulle. Et ce que tu dis ne prouve pas que c'est une famille génératrice (revoir la définition). Mais l'analyse des dimensions suffit.

Cordialement.

Heuh oui j'ai été un peu rapide en besogne lol dsl.

[invite6bfdf32a]

j'ai résolu le système a.u1 + b.u2 + c.v1 +d.v2=r avec r un vecteur quelconque de R4, soit r=(r1,r2, r3,r4), et j'ai obtenu un solution particulière pour chaque scalaire a,b,c et d exprimé en fonction de r1, r2, r3 et r4.
Du genre

Conclusion vect <u1,u2,v1,v2> génère tout vecteur r de R4.

CQFD?

[invite6bfdf32a]

bonjour a tous .
j'ai eu un problème lors de mon exercice d’algèbre . veuillez m'aidez a le résoudre .
voici l'exercice :
on a F= vect(u1,u2) et G=vect(v1,v2,v3)
et (u1,u2,v1,v2) est libre .
avec u1=(1,2,0,1) , u2=(1,0,2,1) ,v1=(1,2,1,0),v2=(-1,1,1,1),v3=(2,-1,0,1) , dans R4
on nous demande de montrer que F+G=R4
voici ma réponse je ne sais pas si c correcte ou non
on a F+G=vect(u1,u2)+vect(v1,v2,v3)
=vect(u1,u2,v1,v2,v3)
or (u1,u2,v1,v2)est libre donc F+G=vect(u1,u2,v1,v2)=R4
le problème c au niveau de la dernière ligne .
veuillez m'aidez et merci d'avance pour vos réponses .

Moi ce qui me gène c'est que ta famille de 4 vecteurs peur être libre sans toutefois générer tout l'espace R4.

[invite6bfdf32a]

Oulà, ne pas tenir compte de ma dernière réponse, totallement FAUX

[invite6bfdf32a]

Proposition 11.3.10. Soit E un espace vectoriel de dimension n, alors :
1. Toute famille libre de n vecteurs de E est une base.

Pas besoin d'aller plus loin.

[gg0]

Voir le message #4.