Résolution d'une équation fonctionnelle

[invite1e5f0300]

Le but est de trouver toutes les fonctions f de R vers K(=R ou C) continues telles que pour tous x et y réels on ait :

f(x+y) + f(x-y) = 2( f(x) + f(y) ) : équation fonctionnelle


Personnellement j'ai déjà résolu l'exo en utilisant les rationnels et j'ai donc la réponse : les fonctions solutions sont les fonctions qui à x associent f(1)*x²=a*x² où a est donc un complexe quelconque.


Mais voilà : la méthode est imposée et je dois suivre le cheminement de l'exercice à travers un questionnement en 3 parties :


Partie 1 : Soit une fonction solution f.

a) Si F est la primitive de f qui s'annule en 0, trouvez pour x réel, une relation entre F(x+1), F(x-1), f(x) et F(1).

b) Déduisez-en que f est de classe C² puis que f'' est constante.

c) Que pouvez-vous en déduire pour f ?

Partie 2 : trouvez toutes les solutions polynomiales de degré au plus égal à 2.

Partie 3 : ensemble des solutions ?



Je bloque clairement à la première question, je ne vois pas comment créer le lien entre f et F en une relation ?


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[matthias]

Tu peux commencer par établir un résultat intéressant sur la parité de f, intégrer entre x-1 et x+1, faire un changement de variable et utiliser la relation ...

[invite1e5f0300]

en fait j'ai déjà pas mal bossé, j'aurais peut-être du faire l'inventaire de tout ce que j'avais fait ^_^


Effectivement on a :
f(0)=F(0)=0 avec x=y=0
f(y)=f(-y) avec x=0

Mais je n'arrive après qu'à :

F(x+1)+F(x-1) = 2(F(x) + xf(1))

Il me faut du f(x) : je ne vois pas comment le faire apparaître !

[matthias]

Il me faut du f(x) : je ne vois pas comment le faire apparaître !

Je répète donc ce que j'ai dit : intégrer entre x-1 et x+1.
Il y a probablement d'autres solutions mais elles doivent toutes êtres plus ou moins équivalentes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1e5f0300]

j'avais même pas lu

Je suis bouché ! Désolé, je fais ça de suite!

[invite1e5f0300]

intégrer entre x-1 et x+1

J'aurais quand-même du te demander: Intégrer quoi ?

Si j'intègre f ca me donne :

intégrale entre x-1 et x+1 de f(t)dt = F(x+1) -F(x-1)

Pas bien folichon

[matthias]

C'est une des façons d'intégrer. L'autre c'est de faire un changement de variable pour ne plus avoir de x dans les bornes.

[invite1e5f0300]

je vais finir par te turlupiner, mais quel CV proposes-tu concretement ?

[matthias]

le plus simple possible : une bête translation pour intégrer de -1 à 1.

[invite1e5f0300]

intégrale entre x-1 et x+1 de f(t)dt = intégrale entre -1 et +1 de f(x+t)dt = intégrale entre -1 et +1 de (-f(x-t) + 2f(x) + 2f(t))dt = [F(x-t)] entre -1 et +1 + 2[f(x)*t] entre -1 et +1 + 2[F(t)] entre -1 et +1 = F(x-1) - F(x+1) + 2f(x) - 2f(x) + 2F(1) - 2F(-1) = F(x+1) -F(x-1)

[matthias]

F(x-1) - F(x+1) + 2f(x) + 2f(x) + 2F(1) - 2F(-1) = F(x+1) -F(x-1)

Une petite erreur de signe.
Et tu connais la parité de F, ça peut aider.

[invite1e5f0300]

ok avec F impaire (car f paire) je trouve le résultat que j'avais trouvé en me servant de la réponse (f(x)=a*x²)


(va se pendre)


Relation : F(x+1) - F(x-1) = 2(F(1) + f(x))

[invite1e5f0300]

f' est seulement continue car d'exprime en fonction de f : f de classe C1.

Mais pas de classe C2, tu suggères d'essayer quoi ?

[matthias]

Tu pars de la relation que tu viens de démontrer et tu exprimes f en fonction de F. Tu sais que F est C1 et tu en déduis que f est C1 (composition et combinaison linéaire de fonctions C1). Tu peux donc dériver ta relation, et refaire le même raisonnement.

[invite1e5f0300]

ok c'est fini sauf une chose :

de f''=cte et f de classe C² on déduit que f est polynomiale de degré au plus égal à 2

ensuite (part2) on introduit une fonction f(x)=ax²+bx+c et on trouve : b=c=0 donc les fcts pôl de degré au plus égal à 2 sols sont les fcts f(x)=ax²

puis (part3) on fait la réciproque pour conclure que ces fcts f(x)=ax² sont solutions et c'est fini!



Me manque : f''=cte

Ca n'a rien d'évident

Je calcule f''(x) à partir de :

f(x) = 1/2 * (F(x+1) - F(x-1) - 2F(1))

f'(x) = 1/2 * (f(x+1) - f(x-1))

f''(x) = 1/2 * (f'(x+1) - f'(x-1))

en se servant de la formule du haut :

f''(x) = 1/4 * (f(x+2) - f(x-2))

remplacer encore fait apparaitre du f(x) et du f(x-2) mais bon on s'en sort plus...

[matthias]

f''(x) = 1/4 * (f(x+2) - f(x-2))

Non, ça c'est faux. Tu as du faire des erreurs de signe.

[invite1e5f0300]

meuh non c'est :

f''(x) = 1/4 * (f(x+2) + f(x-2) - 2f(x)) = f(2)/2


(avec f''=2a et f(2)/2=f(1) : compatible avec la réponse)

Merci tu m'as beaucoup aidé !
Je peux faire quelque chose en échange ? XD (tu veux de l'argent? XOXD)