Dimension groupe et algèbre de Lie

[invite8f6d0dd4]

Bonjour,

Je souhaiterai vérifier que la dimension d'une algèbre de Lie et de son groupe de Lie associés sont identiques.

En effet si j'ai un groupe de N paramètres, j'aurais forcément N générateurs et donc N vecteurs de base de mon algèbre.

Deux générateurs peuvent pas être identiques car si c'est le cas ça voudrait dire que deux paramètres du groupe peuvent "se factoriser" devant un générateur, et donc qu'on a en fait qu'un seul "vrai" paramètre associé à ces deux.

On a pas du tout parlé de ce fait dans mon cours et ça me parait être un résultat "important" mais du coup je me demande si j'ai bien compris.

Merci !
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[invite47ecce17]

Bonjour,
C'est quasi-évident, puisque l'algèbre de Lie est l'espace tangent à 1 à ton groupe, donc sa dimension sur le corps de base est celle du groupe en tant que variété.

[invite8f6d0dd4]

Hmm ok.

En fait je n'ai pas eu cette définition pour l'algèbre de Lie, c'est un cours de maths pour physiciens, on a pas le temps d'étudier en profondeur toute la théorie des groupes.

La seule chose que je sais du lien groupe de Lie avec mon cours c'est que quand je fais un DL de ses éléments proche de l'identité, en identifiant les termes d'ordre 1 je retrouve les générateurs de l'algèbre.

Mais puisque vous parlez d'espace tangents j'aurai une question en lien. On a défini un groupe continu de la manière suivante :

Soit un groupe continu G.

On pose X comme une variété différentielle de dimension d telle que G=X en tant qu'espace topologique.

Ensuite on définit les fonctions de composition et la fonction "inverse" (je vais pas rentrer dans les détails).

Je voudrais juste savoir ce que signifie exactement "G=X en tant qu'espace topologique" ?

Un point de la variété correspond à un couple de paramètres d'un élément du groupe ?

Par exemple pour SO(3), la variété serait une sphère (la sphère des paramètres qui sont les angles de rotation) ?

Merci.

[invite47ecce17]

En fait je n'ai pas eu cette définition pour l'algèbre de Lie, c'est un cours de maths pour physiciens, on a pas le temps d'étudier en profondeur toute la théorie des groupes.

Quelle est ta définition de l'algèbre de Lie? Et d'un groupe de Lie au passage?

La seule chose que je sais du lien groupe de Lie avec mon cours c'est que quand je fais un DL de ses éléments proche de l'identité, en identifiant les termes d'ordre 1 je retrouve les générateurs de l'algèbre.

Qu'est ce que ca veut dire de faire un "DL des elements proche de l'identité"?

Soit un groupe continu G.

On pose X comme une variété différentielle de dimension d telle que G=X en tant qu'espace topologique.

C'est quoi ta définition de "groupe continu". Tu ne définis rien du tout dans ton message.

Ensuite on définit les fonctions de composition et la fonction "inverse" (je vais pas rentrer dans les détails).

Y a pas esoin de définir quoi que ce soit, puisqu'on a deja un groupe. Tu devrais rentrer dans les details, parce que je ne comprends pas grand chose à tes questions

Je voudrais juste savoir ce que signifie exactement "G=X en tant qu'espace topologique" ?

Je repondrais plus bas, avec une bonne définition de groupe de Lie.

Un point de la variété correspond à un couple de paramètres d'un élément du groupe ?

Huh?

Par exemple pour SO(3), la variété serait une sphère (la sphère des paramètres qui sont les angles de rotation) ?

Non, la variété sous-jacente à SO(3) est le 3-espace projectif réel, pas S2. Je crois avoir deja donné la preuve sur ce forum d'ailleurs.

Revenons au debut, voila une définition de groupe de Lie, c'est à la fois un groupe et ue variété differentielle. Plus precisément, c'est une variété differentielle G, munie de deux applications (lisses) m:GxG->G et inv: G->G et d'un point de G, noté 1. De telle sorte à ce que G forme un groupe pour la multiplication donné par m, ayant pour neutre le point 1, et pur lequel l'inversion est donnée par inv.

Dit autrement un groupe de Lie, c'est une variété avec une structure additionnelle, en l'occurence une structure de groupe.

Par exemple GL(n, R) ou GL(n,C) sont des groupes de Lie. Un autre exemple est donné par O(n) ou SO(n) (il y a des choses à prouver); ou encore SL(n,R). Un autre exemple plus bébète est Z.

Donc quand tu as un groupe de Lie, G, il y a une variété "sous-jacente", qui n'est rien autre que le groupe de Lie lui meme, dont on oublie la structure de groupe. Pour SO(3) cette variété est diffeomorphe a l'espace projectif réel (et en particulier homeomorphe en tant qu'espace topologique). Ca devrait répondre à ta question sur ton X et G.

Est ce que tu es OK avec ca, deja?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8f6d0dd4]

Merci de ta réponse.

Alors ma définition d'un groupe de Lie passe par la définition d'un groupe continu.

Définition d'un groupe continu :

Un groupe continu de dimension d est :

• Une variété X de dimension d telle que G=X en tant qu'espace topologique
• Une fonction "de composition" qui va de X*X->X telle que
• Une fonction continue qui va de X->X telle que

Et on définit ensuite un groupe de Lie.
Un groupe de Lie est la composante connexe d'un groupe continu dont les fonctions et sont continues.

Passons la définition précise de l'algèbre pour l'instant je n'ai pas encore bien relu cette partie du cours mais "en gros" on a définit les algèbre sur des cas particuliers en faisant des developpements limités des éléments d'un groupe et en prenant le terme à l'ordre 1 devant le DL.

Concrètement si j'ai qui est une matrice de SO(2), je fais mon DL de ma matrice (je DL mes cos et mes sin), je vais trouver l'identité + alpha*une matrice.

Cette matrice est le vecteur de base de mon algèbre associée à SO(2).

Bon tout est p-e pas bien défini sur ce point de vue mais j'ai pas encore eu le temps de bien lire la suite mais je voulais juste donner une idée à ce propos pour que tu voies ce que j'ai compris pour l'instant.

Ce que je ne comprends pas avec le lien variété<-> groupe c'est que dans mon cours, pour SO(2), on a dit que la fonction de composition vérifiait :



Ce que je comprends d'un point de vue "feeling" (l'angle de deux rotations successive est la somme des deux angles), mais d'un point de vue de la structure j'ai du mal à voir.

Si ma variété X est un point du groupe, les devraient être des éléments de groupe et pas des paramètres.

Or ici ma fonction est définie sur les paramètres réels du groupe.

Ce qui me suggère qu'un point de ma variété est non pas un élément du groupe mais un paramètre de ce dernier (l'angle de rotation en l'occurence).

C'est ça que j'essaie d'éclaircir.

J'ai lu ta réponse mais du coup je ne comprends toujours pas car tu définis bien les fonctions phi et psi sur le groupe et pas sur l'espace des paramètres du groupe. Enfin voilà, c'est cet aspect précis qui me pose problème en premier (et y'a d'autres choses ensuite mais on verra plus tard histoire de pas trop complexifier la question )

Merci !

[invite8f6d0dd4]

Erratum : les fonctions doivent être analytiques et pas continues pour le groupe de lie

[invite47ecce17]

Je comprend pas, tu parle de choses que tu définis pas. Je comprend pas que ca te genes pas de procéder de la sorte.

Définition d'un groupe continu :

Un groupe continu de dimension d est :

• Une variété X de dimension d telle que G=X en tant qu'espace topologique
• Une fonction "de composition" qui va de X*X->X telle que
• Une fonction continue qui va de X->X telle que

Déja c'est quoi ton application g (dans ton deuxieme et troisieme item)?

[invite8f6d0dd4]

g est un élément du groupe parametre par le reel alpha.

dans SO (2), g (pi/3) c'est la rotation de pi/3

[invite8f6d0dd4]

Ok alors en relisant mon cours je me demande en fait si c'est ce dernier qui n'est pas mal fait.

Effectivement avec la définition que tu as donné je suis d'accord qu'on a défini un groupe de Lie sans problème et j'ai aucun soucis avec ta manière de définir l'objet.

Dans mon cours, il est écrit noir sur blanc que les fonctions phi et psi vont de G*G dans G et de G dans G.

MAIS quand on applique ceci sur SO(2), il est écrit dans mon cours que ( alpha + beta, je ne comprends pas pk le latex ajoute un "a" après beta)

Autrement dit, la loi de composition de deux rotations revient à additionner les angles de rotations.

Cependant la fonction phi est censée mangée deux éléments du groupe et pas deux réels permettant de paramétriser le groupe.

Ma question est donc : le prof a t'il fait une erreur ?

La bonne écriture des fonctions phi et psi est elle plutôt du style dans le cas de SO(2) :



Avec et une paramétrisation du groupe (donc l'application qui va des réels dans G).

Ça me parait logique vis à vis des définitions des fonctions mais comme c'est pas du tout ce qu'on a écrit dans le cours (dans tous les exemples avec phi et psi on écrit des fonctions qui mangent des paramètres et non pas des éléments du groupe), je me demande si j'ai compris la construction.

Merci

[invite9dc7b526]

g est un élément du groupe parametre par le reel alpha.

dans SO (2), g (pi/3) c'est la rotation de pi/3

du temps où j'étais étudiant on appelait ça un "groupe à 1 paramètre", je ne sais pas si cette terminologie est toujours en usage, apparemment ce n'est pas le cas dans ton cours de physique. Ce n'est pas la situation générale.

[invite47ecce17]

Ok alors en relisant mon cours je me demande en fait si c'est ce dernier qui n'est pas mal fait.

Si, il est tres mal fait, c'est vraiment de la bouillie indigeste (enfin ce que tu en rapportes ici). Alors que pourtant le sujet est clairement traité dans 1000 bouquins.

Ma question est donc : le prof a t'il fait une erreur ?

Ben ce que tu ecris de son cours semble tellement sans queue ni tete, que c'est "not even wrong".

J'ai l'impression que ce qu'il veut faire c'est absolument se donner deux objets, un espace de paramètres X, qui est une variété differentielle, un groupe topologique G, un homeomorphisme entre les deux, c'est ton application g. Sauf qu c'est totalement redondant, en plus d'etre inutile. A ce moment là, la loi de groupe est définie sur G et \phi c'est la loi de groupe vue sur X via l'homeomorphisme g (enfin plutot g^{-1}).

Ca sert tellement à rien, et ca complique (enfin ca obscurcit plus que ca complique) pour rien. Bref, garde en tete que l'espace de paramètres c'est le groupe de Lie dont on a oublié la structure de groupe, c'est pour ca que tu peux dire que l'espace de paramètres de SO(3) par exemple est RP^3, RP^3 n'a pas de structure "naturelle" de groupe de Lie, ce serait ton X de plus haut, il est isomorphe à SO(3) en tant que variété diff, ou espace topologique, et SO(3) lui a une structure de groupe, ce serait ton G, mais bon d'un point de vue variété diff SO(3) et RP^3 c'est justement la meme chose. Bref, ton espace de paramètres c'est la classe d'isomorphisme de variété diff isomorphe à la variété sous-jacente à ton groupe de Lie.

Ensuite, pour les sous groupes à 1 paramètres, qui comme leur nom ne l'indiquent pas, et comme le dit minushabens, sont des morphismes de R dans G, qui sont lisses (continus suffit en fait), effectivement la valeur de leur differentielle appliquée à 1 (où à \partial_t), en 0 te donne un element de l'algèbre de Lie, c'est eux dont tu fais un DL et tu ne fais pas un DL des "elements" de ton groupe. Ils te donnent effectivement toute l'algèbre de Lie. Si c'est ta définition (ensembliste) de l'algèbre de Lie, valeur des dérivées en 0 (i.e differentielle appliqué en \partial_t en 0) des sous groupe à 1 paramètres de ton groupe de Lie, alors c'est le theoreme de Cauchy-Lipschitz qui assure que tu as un isomorphisme entre l'espace vectoriel sous-jacent à l'algèbre de Lie, et l'espace tangent en le neutre de ton groupe. La structure additive sur l'algèbre de Lie correspond alors au produit sur les sous groupe à 1 paramètre, la multiplication externe revient à la composition par une homothetie (on change la "vitesse de parcours").

Au passage, c'est une absurdité sans nom de limiter les groupe de Lie aux composantes neutres (meme si effectivement l'algèbre de Lie, ne "voit" que la composante neutre). Beaucoup de groupe de Lie naturels sont non connexes (GL_n(R) pour commencer). M'enfin c'est probablement, le "moins pire" des choix qui semble etre fait dans le cours.

[invite47ecce17]

J'ai oublié de dire comment etait défini le crochet sur l'algèbre de lie, c'est la valeur de la dérivée en 0 du commutateur des deux sous groupes a un paramètres qui correspondent aux deux elements dont tu veux prendre le crochet.
Plus précisement, si X (resp. Y) correspond à la dérivée en 0 d'un sous groupe a 1 paramètre g (resp. h), alors [X,Y] est défini comme la dérivée de ghg^{-1}h^{-1}. Il reste a verifier que cela definit bien un crochet de Lie, mais c'est trivial.

[PhilTheGap]

Bonjour

Ma contribution à 2 balles: moi aussi j'ai cherché à comprendre les groupes/algèbre de Lie pour la physique, notamment quantique, et j'ai commencé à essayer de lire des trucs très formels. Mais d'une part, je n'ai pas envie/besoin de comprendre à fond le substrat mathématique, mais juste de saisir les idées principales (par exemple, le rôle de l'exponentielle de matrice), d'autre part je n'ai pas de cours avec un prof que je peux interroger (je fais cà à des heures perdues pour mon plaisir) et c'est assez ardu (de s'auto-motiver et) de comprendre pour quelqu'un comme moi un article de math pures. J'ai une formation d'ingénieur, et je comprends ce que je peux dessiner, pour faire court...

Par exemple, j'ai compris la notion de tenseurs contra/covariant grâce au cours de Léonard Süsskind qui vous le savez n'est pas un mathématicien et qui prend sans doute certaines libertés avec la théorie. Mais bon il fait des figures, il explique calmement et on comprend. Si j'avais dû apprendre avec un cours de maths, j'y serais encore.

Bon donc ne jetons pas (trop) la pierre au cours du prof, qui ne parle pas d'espace tangent, parce que cette notion n'est pas vitale pour ses étudiants qui certainement n'ont pas besoin de savoir, à leur niveau, d'où vient les théorèmes qu'ils supposent vrais (à moins évidemment qu'il essaye de donner une bonne assise théorique et qu'il raconte n'importe quoi). Là où ca pose un problème c'est justement quand un étudiant se pose des questions qui dépassent ce cadre.

Par exemple, dans la vidéo youtube "Particle Physics Topic 6: Lie Groups and Lie Algebras" https://www.youtube.com/watch?v=kpeP3ioiHcw, le prof dit incidemment, pendant son cours, que l'algèbre est l'espace tangent... Mais tout le monde à l'air de de s'en f**** !!!

[invite47ecce17]

Chacun est bien sur libre de faire comme il veut. Néanmoins, avec le bénéfice de l'experience, je crois pouvoir dire qu'en general la presentation donnée par les matheux est beaucoup plus simple i.e les notions sont claires, et les choses s'enchainent logiquement, par contre traiter un cas concret peut prendre du temps parce qu'on a pas les "recettes". Celle des physiciens est plus opérationnelle, i.e on peut vite "faire des calculs" sur des cas concrets, meme si on comprend pas le fond de ce qu'on fait.

Dans tous les cas, je trouve que ne pas définir les objets qu'on utilise ne rend service a personne. Par contre admettre des resultats, tout le monde peut le faire, du moment que c'est clairement spécifié, et je n'ai aucun probleme avec ca.

M'enfin dans tous les cas, un bon cours doit quand meme apprendre a faire des choses non triviales avec les objets auxquels il est censé nous familiariser.

[PhilTheGap]

Bien sûr la présentation donnée par les matheux est plus claire ... pourvu qu'on maîtrise les concepts. Or ces concepts sont parfois un poil trop ardus pour les élèves physiciens ou bien le prof n'a pas le temps matériel de faire un cours plus formel, qui est d'ailleurs du ressort de son collègue mathématicien.

[azizovsky]

Bonjour, sont les deux premier termes du développement en série entière. ((\alph,\beta) voisines de 0,formule de Maclaurin) de la fonction et le deux autres dans la série déterminent les constantes de structures du groupe...

[azizovsky]

en première approximation , le groupe est abélien.