Un problème de topologie algébrique (?)

[invitea47ed71f]

Bonjour,

Je cherche à démontrer une certaine propriété d'un ensemble (compact) E de R^7 qui, il me semble, relève de la "topologie algébrique", vu que je parle des "trous" dans cette ensemble. J'ai l'intuition que ce que je veux montrer correspond à un théorème, ou du moins est relativement "classique" pour un matheux.
Je ne suis pas du domaine, je vais essayer d'être le plus clair possible, avec le vocabulaire adapté. Ne pas hésiter à me demander des précisions!

Plutôt que me placer dans R7, ^je fais l'analogie avec R^3: Il sera sans doute facile de généraliser.

Soit donc E dans R^3. Le but est de montrer que E n'a pas de "trou" à partir d'une propriété donnée plus loin. Il existe (si je ne me trompe pas) deux types de trous: Le trou de "type donut" (si je ne me trompe pas équivaut à groupe fondamental différent du groupe trivial) et le trou de type "balle creuse" (si je ne me trompe pas équivaut à groupe d'homotopie d'indice 2 différent du groupe trivial).

E à la propriété suivante: Il existe un point xo€E tel que tout x€E est relié continument à xo par une fonction . De plus, pour tout epsilon:
: si on dessine les chemins f_x, deux point initiaux x et y "très proches" correspondent à deux chemins f_x et f_y "très proches" pour tout t.


Voici ma preuve intuitive.

E ne peut pas avoir de trou de type donut car sinon , en prenant epsilon bcp plus petit que la "taille caractéristique du trou" et une suite de points y0, y1, ..., yn=y0 faisant un tour autour du trou en petit bonds de moins de epsilon, si l'on trace tous les chemins faits par la fonction f pour les points y0, ..., yn, on a un problème: Forcément le chemin pour y0 et pour yn est le meme (par definition, c'est le meme point), mais à aucun moment on a pu "sauter au dessus du trou" donc le chemin yn fait forcément un tour de plus (ou de moins) autour du trou que le chemin de y0. Dit autrement, il n'est pas possible de tracer une suite de chemins f_y0, f_y1, ..., f_yn tel que le premier et le dernier chemin sont les mêmes, et chaque chemin est très proche (distance inferieur à epsilon) du précédent.

E ne peut pas avoir de trou de type balle creuse pour une raison similaire mais cette fois ci il faut considérer des points "partout autour du creux".


Voila, c'est très intuitif pour moi. J’espère que quelqu'un reconnaitra un théorème dans mon blabla, ou bien me donnera un contre exemple.

Merci!
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[invite47ecce17]

Bonjour,
ton probleme est pas tres clair à dire le moins.
Néanmoins, ton idée de preuve est fausse (si je comprend bien ta propriété).
Prend le tore (donut) usuel plongé dans R^3, il verifie clairement la propiété que tu enonces. Si tu prend deux point proches dans le tore tu peux facilement trouver deux chemins qui partent d'un point fixé a l'avance, et qui les joint tous les deux en restant toujours a une distance petite l'un de l'autre, par exemple prend deux points de ton tore; disons x et y a moins epsilon de distance l'un de l'autre; prend un chemin g_x, qui va de ton point x_0 à x, puis construits f_x et f_y de la facon suivante: f_x est la concatenation de g_x parcouru deux fois plus vite et du chemin constant en x, et f_y est la concatenation de g_x parcouru deux fois plus vite et d'un petit chemin qui relie x a y. Alors |f_x(t)-f_y(t)| est majoré par epsilon.

[minushabens]

Plutôt que me placer dans R7, ^je fais l'analogie avec R^3: Il sera sans doute facile de généraliser.

rien n'est moins sûr.

mais déjà en 3 dimensions, je ne sais pas si tu considères le tore comme surface ou bien le "tore plein".

[invitea47ed71f]

Non, cela n'est pas aussi simple, et mon résultat n'est pas trivialement faux (et même je suis persuadé qu'il est juste):
Pour le tore, il n'existe pas de fonction f tel que pour tout x,y a moins de Epsilon, f relie continument x a xo, y a xo et |f_x-f_y|<cste Epsilon.

Dans ce que tu montres tu définis f APRES avoir fixé x et y, ce qui est totalement différent.
La démonstration de mon énoncé se fait par l'absurde, comme dit dans le post initial : ce n'est pas forcément évident à expliquer sur le papier, il faut faire un petit dessin.

Merci pour ta réponse : je m'excuse de mon langage pas forcément rigoureux, mais il y a de la rigueur dans les arguments

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea47ed71f]

C'est vrai. Disons le tore plein, même s'il me semble (sans y réfléchir très longtemps) que c'est juste pour le creux. Ça me semble bien se passer entre le passage de la 2d à la 3d (ma "preuve" pour le tore marche pareil en 2d, la "sphère creuse n'existe pas en 3d. En 4d, on aura les groupe d'homotopies d'indice 2,3,4: un degré supplémentaires à chaque fois...), du coup je me dis que c'est généralisable.

[invite47ecce17]

Ok, alors pour que ce soit clair, ta propriété dit que tu as un x_0 dans ton X, tel que pour tout x dans ton X, tu as un chemin f_x, continu, de I dans X (I c'est l'intervalle [0,1]), continu tel que pour tout epsilon>0, |f_x-f_y|<epsilon des que |x-y| est majoré par epsilon.
C'est bien ca?

[invite47ecce17]

Dans ce cas ton espace est contracile, voici une homotopie de l'identité de ton espace sur l'application constante et valant x_0, H:XxI->X, qui à (x,t) associe f_x(t), cette application est continue par ton hypothèse, et H(x,0)=x_0 et H(x,1)=x.
Les groupes d'homotopies de ton espace sont donc tous nuls.

[invitea47ed71f]

Yes, c'est exactement ce que je voulais comme réponse !
Merci !

[minushabens]

Pour le tore, il n'existe pas de fonction f tel que pour tout x,y a moins de Epsilon, f relie continument x a xo, y a xo et |f_x-f_y|<cste Epsilon.

j'aimerais être sûr de comprendre: ce que tu dis c'est que si x0, x y sont 3 points du tore, tels que la distance de x à y est plus petite que epsilon (pour un epsilon bien choisi) alors il n'existe pas deux arcs f_x reliant x0 à x et et f_y reliant x0 à y, tels que sup(||f_x(t)-f_y(t)||)<epsilon

ça me semble faux, même en choisissant x0,x,y au mieux.

[invite47ecce17]

Non, justement, c'est ce que j'ai cru au debut aussi, mais non.
Il se fixe un x_0, et pour chaque x il se fixe un chemin f_x reliant x_0 à x, défini sur [0,1]. Ces chemins ont la propriété suivante, pour tout t>0, si d(x,y)<t alors pour tout s de [0,1], d(f_x(s),f_y(s))<t.
En fait, il se donne litteralement l'homotopie H de mon précédent message, mais vu a travers l'adjonction de Xx[0,1] et Hom([0,1],X) ou ce dernier est muni de la topologie compacte ouvert ( ce qui est la topologie de la norme uniforme puisque X et I sont métriques et I est compact). Son f correspond à mon H sous cette adjonction.

[minushabens]

ah d'accord, tous les chemins sont donnés en une fois. Ca fait penser à la présentation qu'on fait parfois de la (l'ex-) conjecture de Poincaré: des mobiles qui partent du pôle sud de la sphère dans toutes les directions mais en restant en vue les uns des autres et qui se retrouvent en même temps au pôle nord sans s'être perdus de vue. Une chose impossible à faire dans le Tore T^3 (ou T^2)