Racine carrée complexe et simple connexité

[invite8133ced9]

Bonjour,

Dans un cours d'analyse complexe, je suis confronté au problème suivant sur lequel je plante depuis plusieurs jours:

Soit un ouvert simplement connexe contenant . Soit l'ensemble des racines carrées des éléments de . est-il connexe? simplement connexe?

Cela semble élémentaire, mais je dois dire que je ne vois pas de moyen d'approcher le problème. En fait, j'ai l'impression qu'il me manque des outils topologiques pour traiter le problème.

A noter que la condition est essentielle. Si , est une union disjointe de deux copies biholomorphes de .
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[invite47ecce17]

Bonjour,
Essaie de montrer qu'un petit lacet pointé en 0 (ou pointé ailleurs d'ailleurs) peut etre deformé a l'aide d'une homotopie (non pointée) en un lacet qui reste hors d'une petite boule centrée en 0. Puis use du fait que C^*->C^*, donnée par z->z² realise le premier comme revetement du second donc si tu evites cette petite boule centré en 0, alors tu peux relever tes homotopies, tout en restant hors de la boule.

[invite8133ced9]

Merci pour l'aide MiPaMa.

Deux questions:
-Si je ne trouve la première construction que pour les petits lacets, cela prouvera seulement que est localement simplement connexe en (ce qui est clair puisque c'est un ouvert) non?
-Si je le trouve pour tous les lacets (ce que je n'arrive pas à faire pour l'instant, mais j'y réfléchis), cela prouve juste que la composante connexe de dans est simplement connexe non?

[invite47ecce17]

Je ne sais pas pourquoi j'ai parlé de "petits lacets", ca marche pour n'importe quel lacet.
Pour ta 2nde remarque tu as raison, mais ca ne devrait pas etre bien difficile de prouver que ton O' est connexe.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8133ced9]

Du coup un lacet pointé en est homotope avec extrémités fixées et relativement à où à un lacet qui évite au moins un point de , ce qui permet de le rendre homotope dans à un lacet ne passant pas par . Ensuite je vois comment conclure avec le relèvement des homotopies mais je me demande s'il n'y a pas quelque chose de plus complex-analytique comme preuve parce que peu de choses sont traitées dans le cours que j'ai concernant l'homotopie.

Pour ce qui est de la connexité, je n'ai pas trouvé pour l'instant mais j'ai du temps pour chercher demain.

[invite8133ced9]

La connexité s'obtient par le même genre d'argument, et en fait on n'a pas besoin de résultats plus avancés que le relèvement des chemins sur la sphère par l'exponentielle pour relever les homotopies et chemins par la fonction carré.