Bonjour à tous,
Je me disais que puisque j'aime assez la topologie et l'algèbre, je devrais sans doute apprécier la topologie algébrique. Mais je ne sais pas vraiment ce que c'est
J'aimerais donc savoir, dans les grandes lignes, ce qu'est la topologie algébrique, et accessoirement, comment s'initier à ce sujet.
Merci d'avance,
Seirios
If your method does not solve the problem, change the problem.
La topologie algébrique consiste en gros à associer à chaque espace topologique (certaines conditions sont souvent imposées sur les espaces considérés pour que ça ait un plus grand intérêt) une structure algébrique ayant la propriété que des espaces homéomorphes auront leur structure algébrique respective isomorphe.
Cela donne donc un moyen plus «calculatoire» de déterminer si deux espaces topologiques sont homéomorphes (ou plutôt de déterminer s'ils ne le sont pas, car avoir des structures algébriques isomorphes n'implique pas d'être homéomorphes).
La structure algébrique la plus «simple et pratique» (il y a plus simple, mais moins pratique ; le groupe 0 d'homotopie par exemple) est celle de «groupe fondamental». Un passage dans Internet pourra t'en dire plus sur le sujet que je ne peux le faire, mais cet outil est assez puissant pour examiner assez profondément les propriétés des surfaces (variétés topologiques à 2 dimensions) par exemple. Les groupes supérieurs d'homotopie (le groupe fondamental étant le groupe 1 d'homotopie), d'homologie et de cohomologie sont d'autres structures algébriques étudiées.
D'où je viens, un livre assez réputé pour s'initier à la topologie algébrique est celui d'Allen Hatcher. Il est écrit en anglais, mais il a l'avantage que son auteur distribue une version électronique gratuite du livre sur son site internet.
Salut,
pour compléter la réponse d'Universus, j'ajouterais la notion de revêtement (où le groupe fondamental se lit comme groupe de structure - modulo quelques conditions).
Pour un aspect plus orienté "triangulation" et "computationnel", l'homologie (simpliciale) est une autre entrée assez riche et en quelque sorte plus "élémentaire" (ce ne veut toutefois pas dire plus facile).
Enfin, je cite la théorie des nœuds qui est aussi riche d'interactions entre topologie et algèbre. Il y a à ce sujet plusieurs conférences de Jones sur le site de l'ENS.
Cordialement.
PS : je déconseillerais d'aborder en premier la cohomologie, que j'estime assez délicate à saisir au début (et ensuite d'ailleurs, mais cela n'engage que moi, bien entendu)
Je ne dirai pas le contraire... mais je ne suis pas une référenceEnvoyé par martini_bird
Merci à vous deux
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