polynomes d'endomorphismes

[invite03ef28af]

Bonjour, dans un problème il m'est demandé etant donné g un endomorphisme de E et en notant pour tous P dans K[x],
P(g)=somme des a_k*g^k
de justifier qu'il existe Qn dans K[x] et c,d dans K tels que :
Xⁿ =(X-a)(X-b)Qn(X) + c(X-a)+d(X-b)
puis de determiner c et d

Je me demande alors si l'existence ne consiste pas tout simplement à dire que K[X]= vect(P₁,....,P_n) avec (Pi)1<=i<=n une famille de Polynome échelonnée en degrés. Cependant je fais alors face a un problème quels sont les autres polynomes de cette famille a par Qn, et le polynome de degré 1 present dans la somme.

Est-ce alors une piste interessante ou bien pas du tout ?

J'ai aussi pensé, le problème portant sur l'expression de l'endomorphisme gⁿ si il ne faut pas "évaluer" en l'endomorphisme g l'egalité proposer et utilser les regles de compositions et de linearités du polynome P(g).
Pouriez-vous m'aidez s'il vous plait ?
Merci
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[invite03ef28af]

Pourquoi faire simple lorsqu'on peut faire compliquer,
une recurrence suffit a résoudre le problème.
Comme quoi il est parfois necessaire de prendre du recul pour voir que la réponse est juste sous son nez.
Merci