Bonjour, j'aurai besoin d'aide pour un exercice svp:
On considère la suite (Vn) définie par son terme général
Pour tout n>0, Vn= 1 + 1/2 + ... + 1/n - ln(n)
1. Montrer que pour tout x de R+* :
1/x+1 <= ln(x+1) - ln(x) <= 1/x
2. En déduire que
1/2 + ... + 1/n <= ln(n) <= 1 + 1/2 + ... + 1/n-1
Je n'ai aucune piste je ne sais même pas par quoi commencer.
Merci d'avance.
C'est un classique.
L'idée est de d'encadrer l'intégrale(faire un dessin) avec une somme d'aire de rectangles.
Pour cela voir quelque part la méthodes des rectangles (pour approcher une intégrale)
Plus directement, encadrer
en minorant et majorant 1/t sur l'intervalle [x,x+1].
Cordialement.
Merci pour vos réponses mais il n'y a pas une méthode sans intégrale car je ne les ai pas encore revu svp
Sans les intégrales on peut le faire avec le th des accroissements finis,
ou alors à un niveau plus élémentaire, pour démontrer que f(x)<=g(x) on étudie le signe de la fonction g(x)-f(x).
pour celle ci , si tu sais ( ou vu en cours ) que pour z ln(1+z)<=zEnvoyé par math3
alors ici
ln(x+1)-ln(x)=ln((x+1)/x)=ln(1+1/x)<=1/x
et pour x>0 ( ton domaine de travail )
ln(1-1/(x+1))<=-1/(x+1) d'où
ln(x/(x+1))<=-1/(x+1)
ln(x)-ln(x+1)<=-1/(x+1) soit
1/(x+1)<=ln(x+1)-ln(x)
pour tout z>-1
