Paradoxe de Russell: demande de clarification
J'ai compris que le paradoxe prouve que l'ensemble des ensembles qui ne se contiennent pas, n'existe pas. Mais ça a quelle relation avec la démonstration de "l'ensemble de tous les ensemble n'existe pas"?
Est ce que l ensemble de tous les ensembles est égale à l'ensemble des ensembles qui ne se contiennent pas???!!!
Bonjour,
Si l'ensemble de tous les ensembles existait, le schéma d'axiomes de compréhension démontrerait l'existence de l'ensemble des ensembles qui ne se contiennent pas
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Tiens, question naïve: si on supprime ou affaiblit l'axiome de compréhension, est-ce qu'on obtient une théorie des ensembles intéressante, et dans laquelle il y aurait un "ensemble de tous les ensembles" ?
Pas que je sache, mais peut-être que la théorie Neumann-Bernays-Gödel répond partiellement à votre questionnement
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
@minushabens: Un exemple ici: https://en.wikipedia.org/wiki/Positive_set_theory.
Cette théorie tolère les axiomes de remplacement même non bornés seulement pour les formules positives (ne contenant pas de symbole de négation).
ah oui en effet. merci.
Bonjour,
J'avais compris la question de façon trop restrictive.
D'une façon générale vous pouvez rechercher weak set theory ou fragment of set theory
Dernière modification par Médiat ; 04/03/2017 à 14h59.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonjour,
Je voudrais revenir à la première intervention sur ce fil.
J'ai moi-même toujours été gêné par le fait que le Paradoxe de Russell utilise la notion d'"ensembles qui ne se contiennent pas" car il semble s'appuyer "en creux" (je n'ose pas dire "en complémentaire") sur la notion d' "ensembles qui se contiennent".
Cela m'amène à 2 questions:
Q1: Est-ce que la notion d' "ensembles qui se contiennent" est utilisée en pratique par les mathématiciens pour d'autres raisons (disons, plus constructives) que d'énoncer des paradoxes?
Q2: un ensemble peut être défini en "extension" (par l'énoncé de la liste de ses éléments), ou "en compréhension" (par les caractéristiques de ses éléments), est-ce suffisant pour définir de façon consistante un ensemble se contenant lui-même tel que, par exemple: A = { A } ?
Le Paradoxe de Russel semble prendre pour point de départ une classification des ensembles en deux types: les ensembles "normaux" (qui ne se contiennent pas) et les ensembles "bizarres" (qui se contiennent eux-mêmes). j'en déduit deux propriétés:
PR1: S'il existait, "l'ensemble de tous les ensembles" se contiendrait, par définition, donc il serait de type "bizarre".
PR2: L'"ensemble des ensembles qui ne se contiennent pas" pourrait donc être renommé "ensemble des ensembles "normaux"". Si l'on suppose que c'est un ensemble "normal", alors il fait partie des "ensembles normaux" donc de lui-même (par sa définition), donc il est "bizarre". Inversement, si l'on suppose qu'il est "bizarre", donc il fait partie de lui-même (par définition de "bizarre") donc c'est un ensemble "normal" (par sa propre définition)
Il semble que c'est surtout la frontière entre "ensembles bizarres" et "ensembles normaux" qui est contradictoire.
Q3: il doit manquer quelque chose... Est-ce le schéma d'axiomes de compréhension mentionné par Médiat (schéma que je comprends comme "pour définir un ensemble, il faut que ses éléments soient correctement définis") ? Mais est-ce que ce schéma d'axiomes n'interdirait pas alors de définir des "ensembles se contenant eux-mêmes" (d'où Q2)?
Si l'on considère les propositions suivantes:
P1: si E est un ensemble, alors P(E), l'ensemble des parties de E, est aussi un ensemble.
P2: quelque soit E un ensemble, il n'y a pas de surjection de E vers P(E)
P3: donc, quelque soit l' "ensemble d'ensembles" que l'on considère, on peut toujours construire un ensemble "plus grand" vers lequel il n'aura pas de surjection.
L'impossibilité de trouver un "ensemble de tous les ensembles" apparait alors de même nature que l'impossibilité de trouver un entier naturel plus grand que tous les autres: la notion "tous les ensembles" serait donc "trop vaste" pour être un ensemble.
Q4 Est-ce que ces 3 propositions P1 P2 P3 sont équivalentes au Paradoxe de Russell?
J'ai commencé à explorer le lien vers "Positive set theory", mais, par transitivité, il y a de quoi explorer une bonne partie du Web, d'où:
Q5 : est-ce je trouverai du côté des ordinaux de Von Neumann des éclaircissement sur ma précédente Q1, ou bien dans la théorie des Catégories, ou ailleurs...?
Bonjour,
Oui, voir l'axiome de d'anti fondation et la théorie des ensembles non bien fondés http://standish.stanford.edu/pdf/00000056.pdfEnvoyé par bac72
Comme il n'existe pas on peut tout dire et son contrairePR1: S'il existait, "l'ensemble de tous les ensembles" se contiendrait, par définition, donc il serait de type "bizarre".
Encore faudrait-il qu'il existePR2: L'"ensemble des ensembles qui ne se contiennent pas" pourrait donc être renommé "ensemble des ensembles "normaux"".
Non, il faut que ses éléments appartiennent à un ensemble.schéma que je comprends comme "pour définir un ensemble, il faut que ses éléments soient correctement définis"
Oui (axiome des parties)P1: si E est un ensemble, alors P(E), l'ensemble des parties de E, est aussi un ensemble.
Oui (théorème de Cantor) mais attention aux mauvaises interprétationsP2: quelque soit E un ensemble, il n'y a pas de surjection de E vers P(E)
OuiP3: donc, quelque soit l' "ensemble d'ensembles" que l'on considère, on peut toujours construire un ensemble "plus grand" vers lequel il n'aura pas de surjection.
Je ne vois pas en quoi ...Q4 Est-ce que ces 3 propositions P1 P2 P3 sont équivalentes au Paradoxe de Russell?
Non, je ne pense pas (ni les catégories) regardez plutôt l'univers de Von NeumannQ5 : est-ce je trouverai du côté des ordinaux de Von Neumann des éclaircissement sur ma précédente Q1
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
