Paradoxe de Russell

[invite6754323456711]

Bonsoir,

L’existence de l’ensemble est contradictoire.

Pourquoi le fait qu'un ensemble ne peut pas être élément de lui même est contradictoire ? C'est pourtant une propriété naturelle d'un ensemble.

Une démonstration trouvé sur Internet :

Supposons l’existence d’un tel ensemble A. Alors soit , donc A vérifie la propriété de A, i.e. contradiction. Soit , donc A vérifie la propriété de A, i.e. contradiction.

On ne peut pas faire l'hypothèse que car c'est contradictoire avec les propriétés d'un ensemble. Ce n'est pas une propriété de A.

A = {x1, x2, x3} est totalement différent de A = {{x1, x2, x3}} .. et ainsi de suite. A ne peut pas se contenir lui même car sinon ce n'est plus le même ensemble.

J'ai du mal à comprendre ce paradoxe qui pour moi part sur des hypothèses fausses.

Patrick
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[invite10c0f164]

Le fait qu'un ensemble se contienne n'est pas il me semble interdit dans la théorie ensembliste usuelle.
Par contre l'existence de cet ensemble que tu décrit est impossible.
De la même manière que aucun barbier ne peut respecter la loi suivante:
Je rase tout les hommes qui ne se rasent pas eux-même.
Se rase-t-il lui-même?

[invite6754323456711]

Le fait qu'un ensemble se contienne n'est pas il me semble interdit dans la théorie ensembliste usuelle.

Ce n'est plus le même ensemble. je ne vois pas comment un ensemble peut se contenir lui même.

Je rase tout les hommes qui ne se rasent pas eux-même.
Se rase-t-il lui-même?

Comment tu le traduit d'un point de vue ensembliste ?

Patrick

[Médiat]

Ce n'est plus le même ensemble. je ne vois pas comment un ensemble peut se contenir lui même.

Je ne vois pas ce que ce "comment" veut dire.
La relation d'appartenance est une relation binaire, si je note R une relation binaire et que je dise que xRx n'est pas interdit,cela n'a rien de choquant je suppose, c'est la même chose pour l'appartenance.
La seule question à se poser c'est est-ce que l'existence d'un x tel que x appartient à x est contradictoire ou non avec les autres axiomes. La réponse est non.
Si tu veux en savoir plus, tu peux faire une recherche sur l'axiome de fondation, ou au contraire sur l'axiome d'anti-fondation.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec7c23c92]

Le fait qu'un ensemble ne se contienne pas lui même est une conséquence de l'axiome de fondation. C'est un axiome assez anecdotique (sauf pour les logiciens ou les gens qui travaillent finement sur la théorie des ensembles) qui empêche certaines situations pathologiques, comme un ensemble se contenant lui même. (ou même des choses plus compliquées, comme A={B} et B={A}).

Cependant, il est tout à fait possible de se passer de l'axiome de fondation.


Au départ, le paradoxe de Russel s'énonce dans une théorie des ensembles sans axiome de fondation : on peut alors avoir A € A, et le raisonnement de Russel prend tout son sens.

Si on énonce ce paradoxe dans une théorie des ensembles avec axiome de fondation, c'est beaucoup plus simple : l'ensemble de Russel serait simplement l'ensemble de tous les ensembles.

[invite6754323456711]

Je ne vois pas ce que ce "comment" veut dire.
La relation d'appartenance est une relation binaire, si je note R une relation binaire et que je dise que xRx n'est pas interdit,cela n'a rien de choquant je suppose, c'est la même chose pour l'appartenance.
La seule question à se poser c'est est-ce que l'existence d'un x tel que x appartient à x est contradictoire ou non avec les autres axiomes. La réponse est non.
Si tu veux en savoir plus, tu peux faire une recherche sur l'axiome de fondation, ou au contraire sur l'axiome d'anti-fondation.

Ma vision, surement pas la bonne, est par exemple :
Soit A l'ensemble contenant les objets x1 et x2 : A = {x1, x2}



Je vais regarder l'axiome de fondation

Patrick

[invite4ef352d8]

en effet dans le cas que tu dis A={x1,x2} n'est pas element de lui meme et donc il appartiens à " l'ensemble " de Russell !

la preuve que tu donne ne suppose pas que A est element de A : elle traite les deux cas possible soit A est element de lui meme soit il ne l'est pas et dans les deux cas on abouti à une contradiction.


et si tu pense que pour tous ensemble A alors A n'appartiens pas à A,et bien la conclusion est toujour vrai : l'ensemble de Russell contiens alors tous les ensemble, entre autre lui meme ce qui est impossible...

[invite6754323456711]

La seule question à se poser c'est est-ce que l'existence d'un x tel que x appartient à x est contradictoire ou non avec les autres axiomes. La réponse est non.

Cela veut dire qu'il aurait fallu créer un axiome formulant que x n'appartient pas à x. Ou poser que la relation d'appartenance n'est pas réflexive (donc n'est pas une relation d'ordre) ? Pourquoi la relation d'appartenance a elle été défini réflexive ?

Patrick

[Médiat]

Cela veut dire qu'il aurait fallu créer un axiome formulant que x n'appartient pas à x.

L'axiome de fondation dont je t'ai déjà parlé sert à cela (entre autre, il interdit aussi les chaînes d'appartenance descendantes infinies, par exemple)

Ou poser que la relation d'appartenance n'est pas réflexive (donc n'est pas une relation d'ordre) ?

Ne pas être réflexive c'est exactement ce que la relation d'appartenance est, avec ou sans axiome de fondation (contrairement aux relations d'ordre non stricts qui le sont).

Pourquoi la relation d'appartenance a elle été défini réflexive ?

Sans l'axiome de fondation, elle n'est pas définie réflexive : il ne lui est pas interdit de l'être pour certains ensembles (ce qui n'est pas la même chose).

Tu as l'air de te poser beaucoup de question sur les choix d'axiomes qui ont été fait, il faut savoir que la théorie des ensembles est née lentement : Cantor commence à se poser des question vers 1875 et Fraenkel met la dernière main à ZF vers 1920 (et l'histoire ne s'est pas arrêtée là (cf. Woodin qui travaille sur le sujet)).

[invite6754323456711]

Ne pas être réflexive c'est exactement ce que la relation d'appartenance est, avec ou sans axiome de fondation (contrairement aux relations d'ordre non stricts qui le sont).

La notion d'ordinal est construite à l'aide de la relation d'appartenance donc pour être un ordre il faut qu'elle soit réflexive. Mais si elle est réflexive alors a = {a}.

Tu as l'air de te poser beaucoup de question sur les choix d'axiomes qui ont été fait, il faut savoir que la théorie des ensembles est née lentement : Cantor commence à se poser des question vers 1875 et Fraenkel met la dernière main à ZF vers 1920 (et l'histoire ne s'est pas arrêtée là (cf. Woodin qui travaille sur le sujet)).

A la base je cherchais juste à comprendre la théorie des ensembles. Mais plus j'avance plus il apparait des questions. Pour comprendre une théorie il faut auparavant bien avoir assimilé ces bases si on ne veut pas laisser de cadavre sur le bord de la route.

Il est clair que si on pouvait avoir accès à l'historique de la création de la théorie des ensembles (avec l'ensemble des questions fondamentales qui ont été discutés) cela faciliterait sa compréhension.


Patrick

[Médiat]

La notion d'ordinal est construite à l'aide de la relation d'appartenance donc pour être un ordre il faut qu'elle soit réflexive. Mais si elle est réflexive alors a = {a}.

La relation d'appartenance n'est pas une relation d'ordre et ta définition de la réflexivité n'est pas la bonne.

Il est clair que si on pouvait avoir accès à l'historique de la création de la théorie des ensembles (avec l'ensemble des questions fondamentales qui ont été discutés) cela faciliterait sa compréhension.

L'aricle de wikipedia (http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...des_ensembles) aborde cet aspect historique.

[invite6754323456711]

La relation d'appartenance n'est pas une relation d'ordre.

Alors je ne comprend pas la notion d'ordinal défini dans wikipédia :

Un ordinal α est un ensemble vérifiant les deux propriétés suivantes :

- il est bien ordonné par la relation
- il est transitif

......

Un ensemble ordonné ( E, R ) est bien ordonné et la relation R est un bon ordre si la condition suivante est satisfaite : Toute partie non vide de E possède un plus petit élément.

Un ensemble muni d’une relation d’ordre est un ensemble ordonné ou tout simplement un ordre.

...

et ta définition de la réflexivité n'est pas la bonne.

C'est pas une définition de la réflexivité que je donne mais le point de mon incompréhension.
pour moi si . Sinon aurais tu un exemple d'ensemble vérifiant

L'aricle de wikipedia (http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...des_ensembles) aborde cet aspect historique.

Merci



Patrick

[invite6acfe16b]

Sinon aurais tu un exemple d'ensemble vérifiant

Facile,

L'ensemble . On a et

[invite6754323456711]

Facile,

L'ensemble .

Ma difficulté de compréhension viens surement de la. Car pour moi écrire cela c'est déjà à la base un non sens. Cela doit venir du fait que les ensembles ne sont pas définis en tant que objet mais en tant que propriété.

On aurait donc le droit d'écrire car aucun axiome ne l'interdit ?

Si il existait une définition des ensembles en tant objet (une grammaire par exemple comme on définit un langage) on aurait surement



Patrick

[invite6754323456711]

Facile,

L'ensemble

Après réflexion cette écriture n'est elle pas interdite par l'axiome d'extensionnalité ?

http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_...ionnalit%C3%A9

Patrick

[Médiat]

Alors je ne comprend pas la notion d'ordinal défini dans wikipédia :

Les ordinaux ne sont pas tous les ensembles. La relation d'appartenance n'est pas une relation d'ordre sur un modèle, mais sur un tout petit bout fabriqué exprès pour cela (ensembles transitifs).

[invite6acfe16b]

Après réflexion cette écriture n'est elle pas interdite par l'axiome d'extensionnalité ?

Elle n'est pas interdite. Par contre, si on accepte l'axiome de fondation elle est interdite. Mais sans celui-ci, il n'y a pas de contradiction à supposer l'existence d'un ensemble tel que je l'ai écrit.

[invite6754323456711]

Les ordinaux ne sont pas tous les ensembles. La relation d'appartenance n'est pas une relation d'ordre sur un modèle, mais sur un tout petit bout fabriqué exprès pour cela (ensembles transitifs).

Ce que je comprend de la notion d'ordre. Une relation pour être, entre autre, un ordre doit être réflexive et la définition de la réflexibilité dit .

D'après ce que je comprend de ta réponse la réflexibilité pour l'appartenance serait .

En fait que veux tu dire "n'est pas une relation d'ordre sur un modèle". C'est quoi un modèle ?


Patrick

[invite6754323456711]

Elle n'est pas interdite. Par contre, si on accepte l'axiome de fondation elle est interdite. Mais sans celui-ci, il n'y a pas de contradiction à supposer l'existence d'un ensemble tel que je l'ai écrit.

Il énonce essentiellement qu'il est suffisant de vérifier que deux ensembles ont les mêmes éléments. x est élément de {x, y} mais pourquoi x serait élément de x ?

Patrick

[invite6754323456711]

Il énonce essentiellement qu'il est suffisant de vérifier que deux ensembles ont les mêmes éléments. x est élément de {x, y} mais pourquoi x serait élément de x ?

Patrick

je pense commencer à comprendre. {x,y} = x dit que x est élément de {x,y} mais aussi que l'élément x de {x,y} est élément de x. par contre ce dernier est interdit par l'axiome de fondation.

Le fait que y soit élément de x provient de la récursivité (car x = {x,y}).

Patrick

[invité576543]

Le fait que y soit élément de x provient de la récursivité (car x = {x,y}).

Pas nécessairement une récursivité. Ca peut se voir juste comme la réflexivité.


Récursivité : x serait défini par extension comme {x,y}

Réflexivité : x est posé comme existant (préalable), et se trouve avoir la propriété qu'il a lui-même comme élément.

La vision "récursivité" peut paraître paradoxale, mais la vision "réflexivité" ne soulève, il me semble, aucun sentiment de paradoxe.

Cordialement,

[Médiat]

Ce que je comprend de la notion d'ordre. Une relation pour être, entre autre, un ordre doit être réflexive et la définition de la réflexibilité dit .

Déjà, une relation d'ordre stricte n'a pas à être réflexive, ce n'est donc pas le point important.

D'après ce que je comprend de ta réponse la réflexibilité pour l'appartenance serait .

Non la réflexivité n'a qu'une seule définition . Ce que l'appartenance ne vérifie jamais (ne serait-ce que parce que ).

[invite6754323456711]

Pas nécessairement une récursivité. Ca peut se voir juste comme la réflexivité.


Récursivité : x serait défini par extension comme {x,y}

C'est bien le cas x est défini comme étant {x,y} qui lui est défini comme étant x.

Patrick

[invite6754323456711]

C'est bien le cas x est défini comme étant {x,y} qui lui est défini comme étant x.

Patrick

Maintenant il est vrai que dans le cas de la récursivité il faut une terminaison.



Écrit en LISP

(de factoriel (n)

(if (= n 0) 1
(* n (factoriel (n - 1)))
)

)


Patrick

[invite6754323456711]

Maintenant il est vrai que dans le cas de la récursivité il faut une terminaison.



Écrit en LISP

(de factoriel (n)

(if (= n 0) 1
(* n (factoriel (n - 1)))
)

)


Patrick

Dit autrement si x = {x, y} alors par récursivité = {{x,y},y} = {{{x,y},y},y} ....

il ni a pas de terminaison pour l'arrêter

Patrick

[invitec317278e]

Je suppose que c'est en partie pour ça qu'on a introduit l'axiome de fondation.

[invite6754323456711]

Je suppose que c'est en partie pour ça qu'on a introduit l'axiome de fondation.

Oui certainement car si x = {x} alors tout ensemble est infini.

Patrick

[invité576543]

Oui certainement car si x = {x} alors tout ensemble est infini.

Tu confonds élément et élément d'élément.

Si x ={x, y}, alors son cardinal est 2, que tu développes ou non.

x = {{x,y}, y} n'a toujours que deux éléments.

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Ensuite, en quoi l'idée que le développement dont tu parles soit infini serait un problème?

Cordialement,

[invite6754323456711]

Tu confonds élément et élément d'élément.

Si x ={x, y}, alors son cardinal est 2, que tu développes ou non.

x = {{x,y}, y} n'a toujours que deux éléments.

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Ensuite, en quoi l'idée que le développement dont tu parles soit infini serait un problème?

Cordialement,

Pourquoi l'infini ne serait-il lié qu'a la notion de cardinal ?

Ensuite, en quoi l'idée que le développement dont tu parles soit infini serait un problème?

Tout ensemble aurait donc une infinité de représentation. Même l'ensemble vide qui pourtant a pour cardinal 0.


De plus si x = {a, b, c} cardinal 3 et x = {x, y} cardinal 2 alors un même ensemble peut avoir des cardinaux différents

Patrick

[invité576543]

Pourquoi l'infini ne serait-il lié qu'a la notion de cardinal ?

Il est aussi lié à la notion d'ordinal, mais qu'est-ce que cela a à voir dans l'histoire?

Tout ensemble aurait donc une infinité de représentation.

Et alors?

Même l'ensemble vide qui pourtant a pour cardinal 0.

Non. Si on fait l'hypothèse que ne permet pas de dire que

Ce n'est pas parce que certains ensembles appartiendraient à eux-mêmes que tous appartiendraient à eux-mêmes.

De plus si x = {a, b, c} cardinal 3 et x = {x, y} cardinal 2 alors un même ensemble peut avoir des cardinaux différents

Non, tes deux hypothèses sont contradictoires, de par l'axiome d'extension.

L'axiome de non-fondation ne supprime pas les autres, il n'est pas contradictoire avec eux.

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J'ai du mal à comprendre où tu vois un problème. Avec l'axiome de non-fondation, les ensembles usuels sont toujours là, inchangés. Simplement il s'en rajoute d'autres, définis simplement par leur existence, tout comme n'importe quel ensemble est défini à partir, ultimement, d'un axiome existentiel (du moins dans ma manière de voir).

Cordialement,