Paradoxe de Russell

[Médiat]

En relisant certaines interrogations je m'aperçois, que, comme souvent, ce qui pose problème ce n'est pas la théorie axiomatique des ensembles en tant que système formel purement syntaxique, mais l'idée que l'on se fait d'un ensemble, c'est à dire des a priori sémantiques (tout en ne perdant pas de vu que la source de la théorie axiomatique est justement un a priori sémantique (celui de Cantor, enrichi peu à peu)).

Par exemple il suffit de se représenter la relation d'appartenance comme un graphe orienté et beaucoup de choses "incompréhensibles" deviennent triviales, par exemple un ensemble qui se contient lui même c'est juste un sommet avec une boucle.
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[invité576543]

Non. Si on fait l'hypothèse que ne permet pas de dire que

Je corrige : L'hypothèse que ou même que , ne permet pas de dire que

Cordialement,

Edit : croisement

[invite6754323456711]

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J'ai du mal à comprendre où tu vois un problème. Avec l'axiome de non-fondation, les ensembles usuels sont toujours là, inchangés. Simplement il s'en rajoute d'autres, définis simplement par leur existence, tout comme n'importe quel ensemble est défini à partir, ultimement, d'un axiome existentiel (du moins dans ma manière de voir).

Tu confonds élément et élément d'élément.

Un problème non mais une difficulté d'accepter x = {x} qui pose volontairement de confondre un élément et élément d'élément.

Patrick

[invite6754323456711]

Non, tes deux hypothèses sont contradictoires, de par l'axiome d'extension.

x = {x ,y} l'axiome d'extension dit que tout les éléments de x sont élément de {x, y} et réciproquement. Comme la définition est récursive cela la rend ambigu. Par exemple {x, y} et élément de x (={{x,y},y}) mais n'est pas élément de x {={x,y}}

Patrick

[Médiat]

Un problème non mais une difficulté d'accepter x = {x} qui pose volontairement de confondre un élément et élément d'élément.

A strictement parler il n'y a pas d'élément dans ZF, que des ensembles.

[invite6754323456711]

A strictement parler il n'y a pas d'élément dans ZF, que des ensembles.

Si on développe x = {x} alors x est un ensemble d'ensemble d'ensemble .... infini ... de lui même.

Patrick

[invite6754323456711]

Je corrige : L'hypothèse que ou même que , ne permet pas de dire que

Cordialement,

Si on ne tiens pas compte de l'axiome de Fondation comment démontre t'on ?

Patrick

[invité576543]

Un problème non mais une difficulté d'accepter x = {x} qui pose volontairement de confondre un élément et élément d'élément.

Pas confondre, juste un cas d'égalité.

C'est juste une propriété de x, rien d'autre.

x = {x ,y} l'axiome d'extension dit que tout les éléments de x sont élément de {x, y} et réciproquement. Comme la définition est récursive cela la rend ambigu. Par exemple {x, y} et élément de x (={{x,y},y}) mais n'est pas élément de x {={x,y}}

Non, non et non. Ce n'est pas une définition récursive. C'est une affirmation de propriété.

Et il n'y a pas de contradiction, {x, y} est bien élément de x. Pourquoi veux-tu qu'il ne le soit pas?

Si on développe x = {x} alors x est un ensemble d'ensemble d'ensemble .... infini ... de lui même.

Et alors? Pour reprendre l'image d'un graphe, cela est similaire à l'idée que dans un graphe fini orienté avec boucle on puisse progresser indéfiniment en suivant les flêches (cf. les dupondt dans l'or noir). Et alors? C'est une propriété, en quoi est-elle gênante?

Si on ne tiens pas compte de l'axiome de Fondation comment démontre t'on ?

Si on a ni axiome de fondation, ni axiome de non-fondation, si je comprends bien ce que je lis, c'est indécidable. Avec l'axiome de non-fondation, c'est une conséquence directe de l'axiome. Avec l'axiome de fondation, l'opposé de cette phrase est une conséquence directe de l'axiome. Là encore, où est la difficulté?

Cordialement,

[Médiat]

Si on ne tiens pas compte de l'axiome de Fondation comment démontre t'on ?

On ne peut pas, sinon l'axiome de fondation serait contradictoire avec ZF, mais on ne peut pas démontrer le contraire non plus.

[invite6754323456711]

Bonsoir,

Merci à tous de votre participation et bonne fête de Noël



Patrick

[invite10c0f164]

Salut,
Joyeux Noël!
Je pensais juste à un truc:

tu peux définir un couple, d'entiers par exemple,
de la manière suivante:
(a,b):={{a},b} car en effet a différent de {a}

jusque là pas de problème et donc un n-uplet peut très bien se définir par:
(a0,...,an):=An

où A1:={{a0},a1}
A2:={{{a0},a1},a2}
An:= {An-1} U {an}

Tu peux encore étendre cette définition aux suites:
la suite des an sera: A(infini)
Or pour la suite constante égale à 1 que je note B(:=A(infini))
Tu auras clairement B appartient à B!

[invite10c0f164]

Le problème de x={x} est que tu ne peux pas dire grand chose d'un
élément de x à part que c'est x! Donc je pense qu'un tel ensemble est
essentiellement unique et qu'on peut juste dire qu'il ne sert à rien.

[invite6754323456711]

Le problème de x={x} est que tu ne peux pas dire grand chose d'un
élément de x à part que c'est x! Donc je pense qu'un tel ensemble est
essentiellement unique et qu'on peut juste dire qu'il ne sert à rien.

Il donne un exemple d'une proposition indécidable tel que prédit par le théorème d'incomplétude qui stipule que dans tout système formel contenant l'arithmétique, il existe au moins une proposition indécidable.

On aura beau formaliser les mathématiques, on trouvera toujours un énoncé formel dont la démonstration oblige à quitter ou élargir ce formalisme en ajoutant de nouveaux axiomes, ce qui introduira immanquablement de nouveaux énoncés indécidables. Ainsi l'approche formaliste, qui reste pourtant valable, a désormais des limites connues.

Patrick

[invite10c0f164]

"Il donne un exemple d'une proposition indécidable tel que prédit par le théorème d'incomplétude qui stipule que dans tout système formel contenant l'arithmétique, il existe au moins une proposition indécidable."

Où est l'arithmétique là dedans?
C'est de l'ensemble que tu décrit au premier message que vient la proposition indécidable si j'ai bien compris?

[invite6754323456711]

Et il n'y a pas de contradiction, {x, y} est bien élément de x. Pourquoi veux-tu qu'il ne le soit pas?

x est aussi = {{x,y},y} donc x n'est pas élément (les éléments sont {x,y} et y). Mais comme x est défini à partir de x (ce que j'appelle la récursivité) = {x,y} alors il est élément de {{x,y},y}.

L'égalité est définie par l'axiome d'extensionnalité doit on alors utiliser x est élément de "" ou x est une partie de ""

Pour moi c'est pas clair

Patrick

[invite6754323456711]

"Il donne un exemple d'une proposition indécidable tel que prédit par le théorème d'incomplétude qui stipule que dans tout système formel contenant l'arithmétique, il existe au moins une proposition indécidable."

Où est l'arithmétique là dedans?
C'est de l'ensemble que tu décrit au premier message que vient la proposition indécidable si j'ai bien compris?

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A..._de_G%C3%B6del

c'est-à-dire qu'il existe des énoncés sur lesquels on sait qu'on ne pourra jamais rien dire dans le cadre de la théorie.
....
À cause des hypothèses des théorèmes, toute théorie qui prétend formaliser l'ensemble des mathématiques, comme la théorie des ensembles, est concernée.

mmy a répondu à cette question sur "indécidablilité".


Patrick

[invite6754323456711]

x est aussi = {{x,y},y} donc x n'est pas élément (les éléments sont {x,y} et y). Mais comme x est défini à partir de x (ce que j'appelle la récursivité) = {x,y} alors il est élément de {{x,y},y}.

L'égalité est définie par l'axiome d'extensionnalité doit on alors utiliser x est élément de "" ou x est une partie de ""

Pour moi c'est pas clair

Patrick

L'ensemble {x,y} à pour partie {},{x},{y},{x,y}=x


Patrick

[invité576543]

x est aussi = {{x,y},y} donc x n'est pas élément (les éléments sont {x,y} et y). Mais comme x est défini à partir de x (ce que j'appelle la récursivité) = {x,y} alors il est élément de {{x,y},y}.

Pour moi tu es en train de dire plus ou moins la même chose que "4/2 n'est pas un entier puisqu'il s'écrit sous forme d'une fraction, mais c'est un entier parce que 2 = 4/2".

Autrement dit tu fais, à mon avis, un contre-sens basé sur l'existence de multiples représentations d'un même objet. x = {x, y} impose l'idée que toute expression où apparaît une écriture garde le même statut (vrai, faux, démontrable, etc.) en utilisant l'autre écriture.

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Plus généralement, tant que tu ne verras x = {x,y} que comme une définition de x, ce ne sera pas clair pour toi! En prenant l'autre approche ("existentielle"), il n'y a aucun problème, aucun paradoxe. Comme le dit Médiat, où y-a-t-il un problème si dans un graphe orienté une flêche relie un noeud à lui-même? Dans la "vision graphe", les noeuds "pré-existent" aux relations, ils ne sont pas définis par les relations.

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Au passage, pourquoi dans le Wiki sur l'axiome d'anti-fondation disent-ils qu'il y a un seul ensemble tel que x={x} ?

L'ensemble, que l'on peut prouver unique, égal au singleton de lui même et noté Ω, correspond au graphe n'ayant qu'un point et où la flèche qui part de lui pointe vers lui. Cela correspond à la simple représentation d'une relation réflexive sur un domaine à un élément.

Je n'arrive pas à voir pourquoi l'ensemble {x, y} avec x={x} et y={y} amènerait une contradiction. C'est l'équivalent d'un graphe orienté à 3 noeuds et 4 flêches : je peux le dessiner, donc il n'y a pas de contradiction, non?

Peut-être cela est-il vu comme {{Ω,0}, (Ω,1)}, c'est à dire que mes x et y sont des "copies" de Ω, et {x,y} une union disjointe? Mais je ne vois pas ce qui impose de voir les choses comme cela plutôt que x et y des ensembles distinct mais "isomorphes".

Cordialement,

[invite6754323456711]

Pour moi tu es en train de dire plus ou moins la même chose que "4/2 n'est pas un entier puisqu'il s'écrit sous forme d'une fraction, mais c'est un entier parce que 2 = 4/2".

Autrement dit tu fais, à mon avis, un contre-sens basé sur l'existence de multiples représentations d'un même objet. x = {x, y} impose l'idée que toute expression où apparaît une écriture garde le même statut (vrai, faux, démontrable, etc.) en utilisant l'autre écriture.

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Plus généralement, tant que tu ne verras x = {x,y} que comme une définition de x, ce ne sera pas clair pour toi! En prenant l'autre approche ("existentielle"), il n'y a aucun problème, aucun paradoxe. Comme le dit Médiat, où y-a-t-il un problème si dans un graphe orienté une flêche relie un noeud à lui-même? Dans la "vision graphe", les noeuds "pré-existent" aux relations, ils ne sont pas définis par les relations.

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Au passage, pourquoi dans le Wiki sur l'axiome d'anti-fondation disent-ils qu'il y a un seul ensemble tel que x={x} ?




Je n'arrive pas à voir pourquoi l'ensemble {x, y} avec x={x} et y={y} amènerait une contradiction. C'est l'équivalent d'un graphe orienté à 3 noeuds et 4 flêches : je peux le dessiner, donc il n'y a pas de contradiction, non?

Peut-être cela est-il vu comme {{Ω,0}, (Ω,1)}, c'est à dire que mes x et y sont des "copies" de Ω, et {x,y} une union disjointe? Mais je ne vois pas ce qui impose de voir les choses comme cela plutôt que x et y des ensembles distinct mais "isomorphes".

Cordialement,

Pour moi l'ennoncé il existe x = {x,y} est faux. Existe t'il un modèle permettant de vérifier cet énoncé ?

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...s_mod%C3%A8les

Pour définir un modèle, il convient donc d'introduire un ensemble dont les éléments serviront de valeurs à attribuer aux variables

Il faut que x est un cardinal égal à 2 (car sinon un même ensemble aurait plusieurs cardinaux). Donc l'Univers a deux éléments que je note a et b. x = {a,b}

Maintenant j'énonce x = {x,y} est-ce vrai ou faux ?

---> {a,b} = {{a,b},y} pour moi ces deux ensembles son différents.

si l'ennocé est x = {x,y} est vrai on devrait donc pouvoir le démontrer par déduction naturelle (http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9duction_naturelle) par exemple.

Si tout est ensemble qu'elle alors qu'elle est la différence entre appartient à et est inclus dans ?

Patrick

[invite6acfe16b]

Un bon moyen de savoir si l'existence d'un ensemble x={x,y} n'est pas contradictoire avec ZF est de construire un modèle de ZF qui contient un élément x vérifiant :
1)
2) tel que et
Si on ne peut pas le faire, alors l'ensemble est contradictoire. Je vais essayer de voir comment on peut construire un tel modèle...

[Médiat]

Pour moi l'ennoncé il existe x = {x,y} est faux.

En maths, "Pour moi" n'est pas un argument.

Existe t'il un modèle permettant de vérifier cet énoncé ?

Si tu parles de modèle de ZF, alors non puisque l'on ne sait pas construire un tel modèle.

Il faut que x est un cardinal égal à 2 (car sinon un même ensemble aurait plusieurs cardinaux). Donc l'Univers a deux éléments que je note a et b. x = {a,b}
Maintenant j'énonce x = {x,y} est-ce vrai ou faux ?
---> {a,b} = {{a,b},y} pour moi ces deux ensembles son différents.

Pourquoi ? Si tu poses x ={a, b} et x ={x, y}, c'est que (x = a et y = b) ou (x = b et y = a).

si l'ennocé est x = {x,y} est vrai on devrait donc pouvoir le démontrer par déduction naturelle (http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9duction_naturelle) par exemple.

Non, puisque le contraire de cette proposition n'est pas réfutable dans ZF, Non, puisque cette proposition est fausse dans ZF + AF.
Pour les axiomes d'anti-fondation, il en existe au moins 3 ...

Si tout est ensemble qu'elle alors qu'elle est la différence entre appartient à et est inclus dans ?

Je ne vois pas la pertinence de cette remarque et pourtant

[invité576543]

Pour moi l'ennoncé il existe x = {x,y} est faux.

Il est faux si tu choisis qu'il soit faux (axiome de fondation) ou acceptable dans le cas contraire (axiome de non-fondation).

Existe t'il un modèle permettant de vérifier cet énoncé ?

Voir des ensembles comme des graphes. Les ensembles "usuels" sont des graphes sans boucles.

{a,b} = {{a,b},y} pour moi ces deux ensembles son différents.

C'est comme dire 4/2 et 2 sont des nombres différents.

si l'ennocé est x = {x,y} est vrai on devrait donc pouvoir le démontrer par déduction naturelle (http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9duction_naturelle) par exemple.

Comment démontres-tu par "déduction naturelle" qu'il existe au moins un ensemble, ou qu'il existe au moins un ensemble infini?

Si tout est ensemble qu'elle alors qu'elle est la différence entre appartient à et est inclus dans ?

Je ne vois pas de confusion possible entre les deux notions que ce soit avec l'axiome de fondation ou avec l'axiome de non-fondation.

Ou plutôt, c'est toi qui semble confondre les deux notions, en particulier quand tu refuses que le cardinal de x tel que x = {x, y} soit égal à 2. Dans la "vision graphe", le cardinal est le nombre de flêches qui partent d'un noeud. dans le cas x ={x, y}, il y a exactement deux flêches, quelle que soit la manière de voir les choses.

Si x={x,y}, on a et , où est la confusion?

Cordialement,

[Médiat]

Je vais essayer de voir comment on peut construire un tel modèle...

Si tu arrives à construire un modèle de ZF, tu vas devenir très célèbre ...
Ce que tu peux essayer de faire c'est, à partir d'un hypothétique modèle de ZF en construire un qui vérifie la proposition en question, pour cela, il y a deux méthodes principales : celle de Gödel et celle de Cohen.

Si tu veux faire des recherches sur le net dans ce domaine, tu peux rechercher les axiomes d'anti-fondation (not well founded set theory) et en particulier les atomes de Quine.

[invite6acfe16b]

Bon,
Je crois que j'ai un modèle qui convient. J'espère que ce que je vais dire n'est pas idiot.
Voici comment je procède.
Tout d'abord je suppose que ZF est non contradictoire (personne ne va me contredire). Donc ZF possède un modèle M.
J'ajoute un élément à M qui n'est pas déjà dans M.
Je pose . Ce qui est arbitraire, j'aurais pu prendre n'importe quoi d'autre.
J'ajoute aussi les relations et .
J'ajoute en plus de tous cela, tous les éléments construits avec à partir des axiomes de ZF. De cette manière, j'obtiens un modèle M' qui contient un élément tel que .
Maintenant que j'ai écris ceci, je me rends compte que cela n'est pas complet, car je n'ai pas prouvé qu'en ajoutant tous les ensembles construits à partir de x, je n'ajoute pas de contradiction. Je vais y réfléchir encore...

[invite6754323456711]

En maths, "Pour moi" n'est pas un argument.

C'est pour cela que j'essai de le formaliser avec les outils que je découvre et donc que je ne maitrise pas bien.

Si tu parles de modèle de ZF, alors non puisque l'on ne sait pas construire un tel modèle.

Je n'ai pas bien compris alors la notion de modèle. Un modèle sert de structure pour valider une théorie logique ou mathématique. On dira qu'une théorie est non contradictoire s'il existe un modèle dans lequel elle est vraie. Donc on ne peut rien dire sur la non contradiction de ZF ?

Pourquoi ? Si tu poses x ={a, b} et x ={x, y}, c'est que (x = a et y = b) ou (x = b et y = a).

On dit rien sur y. c'est pour tout y. si x est les deux premières lettres de l'alphabet et x = {x,y} alors x = {{a,b},y}

Je ne vois pas la pertinence de cette remarque et pourtant

Appartient fait référence à une notion d'élément (un objet) qui est sensé de ne pas exister (car tout est ensemble) et inclus fait référence à la notion d'ensemble (classe de l'élément/objet). Pour moi toute l'ambiguïté est la.


Patrick

[invité576543]

Si tu arrives à construire un modèle de ZF, tu vas devenir très célèbre.(...)
Si tu veux faire des recherches sur le net dans ce domaine, tu peux rechercher les axiomes d'anti-fondation (not well founded set theory) et en particulier les atomes de Quine.

Je ne comprends pas trop le pourquoi de la première phrase.

Dans ce que je lis sur les extensions "not well founded", je n'ai pas vu de doute sur l'existence de modèles une théorie "not well founded".

Ensuite, tout dépend de ce qu'on entend par "ZF" dans la première phrase. Avec ou sans axiome de régularité, avec ou sans axiome du choix, etc. ???

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Par ailleurs, j'en arrive de plus en plus à l'impression que l'axiomation "not well founded" est "plus riche" que son opposée (on remplace un axiome contraignant par un axiome existentiel !!), et que, simplement, les mathématiques usuelles s'intéressent principalement (uniquement?) au fragment "well founded" dans l'universe des ensembles, c'est tout. Je n'ai pas encore vu une indication claire qu'accepter les "not well founded" retire quoi que ce soit à ce qu'on sait ou dit sur le fragment "well founded".

Ai-je loupé quelque chose?

Cordialement,

[Médiat]

Donc on ne peut rien dire sur la non contradiction de ZF ?

Exact.

On dit rien sur y. c'est pour tout y. si x est les deux premières lettres de l'alphabet et x = {x,y} alors x = {{a,b},y}

Appartient fait référence à une notion d'élément (un objet) qui est sensé de ne pas exister (car tout est ensemble) et inclus fait référence à la notion d'ensemble (classe de l'élément/objet). Pour moi toute l'ambiguïté est la.

Appartient fait référence à des ensembles, ce sont des ensembles qui appartiennent à des ensembles, l'inclusion aussi d'ailleurs, mais ce n'est pas la même relation que l'appartenance (elle s'en déduit).

[Médiat]

Je ne comprends pas trop le pourquoi de la première phrase.

On ne sait pas construire de modèle de ZF, on ne sait pas si ZF est consistant, on sait juste que prouver cette consistance est impossible dans ZF (deuxième théorème d'incomplétude de Gödel)

Dans ce que je lis sur les extensions "not well founded", je n'ai pas vu de doute sur l'existence de modèles une théorie "not well founded".

En général, les gens qui étudient les extensions de ZF démontrent des résultats de consistance relative : si ZF est consistant alors ZFC est consistant, etc.

Ensuite, tout dépend de ce qu'on entend par "ZF" dans la première phrase. Avec ou sans axiome de régularité, avec ou sans axiome du choix, etc. ???

ZF désigne strictement les axiomes mis au point par Zermelo et Fraenkel, donc sans axiome du choix, ni hypothèse du continu.
En général avec axiome de fondation (ce qui fait que lorsque l'on veut ajouter un axiome d'antifondation, on devrait (je ne le fais pas toujours) écrire ZF - AF + AFA)

Je n'ai pas encore vu une indication claire qu'accepter les "not well founded" retire quoi que ce soit à ce qu'on sait ou dit sur le fragment "well founded".

J'avoue ne pas avoir d'exemple en tête, mais je ne serais pas surpris que l'interdiction de chaînes infinies descendantes soit utile de temps en temps.

Cordialement.

[invité576543]

J'avoue ne pas avoir d'exemple en tête, mais je ne serais pas surpris que l'interdiction de chaînes infinies descendantes soit utile de temps en temps.

Le Wiki anglais a l'air assez affirmatif (mais sans justification...):

It is worth emphasizing that hyperset theory is an extension of classical set theory rather than a replacement: the well-founded sets within a hyperset domain conform to classical set theory.

Je ne sais pas trop ce qu'un non spécialiste comme moi peut faire avec tout ça...

Cordialement,

[Médiat]

Je ne sais pas trop ce qu'un non spécialiste comme moi peut faire avec tout ça...

Je vois un parallèle avec le fait qu'un modèle de ZF sans HC contient un sous modèle de ZF avec HC.

Il me semble que l'on peut avoir plusieurs points de vue :
Pour un mathématicien qui se pose la question des fondements, si les ensembles bien fondés sont suffisants, il n'a aucune raison de se compliquer la vie avec les hyper-ensembles
Pour un logicien qui se pose la question de la nécessité de tels ou tels axiomes, il est nécessaire de se poser toutes ces questions d'indépendance et d'extension.

Cordialement.