Sous-groupes

[invite8b04eba7]

non c'est encore une ânerie désolé

Ce n'est pas tant une ânerie que ça, car ça serait vrai si r divise n et ça doit te mettre sur la voie.
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[Bleyblue]

Il me semble que (ppcm(r,m)/r) donne bien l'ordre de g^r si m est l'ordre de g mais je n'arrive pas à le montrer

merci

[invite6b1e2c2e]

C'est ça. Tu as essayé de regarder dans Z/nZ avec une loi additive ?
Ca pourrait te donner une jolie manière de le prouver...
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rvz

[Bleyblue]

C'est ça. Tu as essayé de regarder dans Z/nZ avec une loi additive ?

Mutliplicative avec n premier

Je vais essayer de le démontrer mais peut-être pas tout de suite car j'ai un examen qui approche et je dois avancer dans mes revisions. Je garde ça en réserve

merci !

[invite6b1e2c2e]

Tant qu'à faire, additif, c'est plus facile, et en plus tu n'as rien à supposer sur n...

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rvz

[Bleyblue]

Oui
Ou alors U(Zn), inversibles de l'anneau Zn. Ca marche aussi ...

merci

[invite6b1e2c2e]

Je t'assure que c'est plus compliqué, et ce pour une raison très simple : Quel est le cardinal de U(Zn) ?
Est-il cyclique ?
Maintenant, considère un groupe quelconque G et un élément g de G d'ordre q>1. Alors le sous groupe G_g engendré par g dans G est clairement isomorphe à Z/qZ, muni de la loi additive, en envoyant g sur 1. En tout cas, c'est clairement un sous groupe à q éléments. Mais je ne sais pas forcément trouver un n tel que U(Zn) a pour cardinal q...
D'ailleurs, une question qui me vient comme ça : Je ne sais même pas s'il existe un n tel que cardinal(U(Zn)) = q, ou au moins, tel que q divise cardinal(U(Zn)). Est-ce qu'il n'y aurait pas des entiers q qui n'auraient jamais cette propriété ?

PS : En fait, tu peux démontrer le résultat que tu as conjecturé en utilisant le résultat sur Zn muni de la loi additive, mais je n'en dis pas plus pour l'instant...
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rvz

[Bleyblue]

Je t'assure que c'est plus compliqué, et ce pour une raison très simple

Oui je n'en doute pas. Ne fut-ce que pour déterminer les ordres des éléments, il est toujours plus simples d'additionner que de multiplier

merci

[invite35452583]

D'ailleurs, une question qui me vient comme ça : Je ne sais même pas s'il existe un n tel que cardinal(U(Zn)) = q, ou au moins, tel que q divise cardinal(U(Zn)). Est-ce qu'il n'y aurait pas des entiers q qui n'auraient jamais cette propriété ?
rvz

Je crois ne pas dire de bêtises en disant :
Pour l'égalité il y a plein de q qui sont <>U(Zn) pour tout n : les impairs distincts de 1
Zn=produit de ces p-Sylow qui sont cycliques
U(Zn)=produit des U des précédents
pour p impair, donc pair (cyclique)
pour p=2, non cyclique pour m>=3 mais pair quand même (ou 1 cas de Z/2Z)
Par contre q divise et même il existe un élément d'ordre q dans U(Zn) si.

Ceci dit, tu as raions que (Zn,+) est le groupe adapté à la question initiale

[invite6b1e2c2e]

Merci Homotopie, j'avais plus la formule en tête (c'est rigolo d'ailleurs, parce qu'elle vient de me revenir sur le topic inversibles d'un anneau). Je suppose qu'en fait, même pour les q pairs, ce n'est pas clair du tout. Finalement, avec cette formule, un nombre q est un cardinal d'un U(Zn) ssi

ce qui ne doit pas arriver fréquemment...

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rvz

[invite35452583]

Je suppose qu'en fait, même pour les q pairs, ce n'est pas clair du tout. Finalement, avec cette formule, un nombre q est un cardinal d'un U(Zn) ssi

ce qui ne doit pas arriver fréquemment...

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rvz

q=14, q=26 sont des exemples (ce sont les plus petits, il faut patienter : on patauge dans les premiers pour les petites valeurs). Il doit y en avoir des "tonnes", en effet.