Ce n'est pas tant une ânerie que ça, car ça serait vrai si r divise n et ça doit te mettre sur la voie.
-----
06/06/2006, 10h10
#32
Bleyblue
Date d'inscription
juillet 2004
Messages
2 956
Re : Sous-groupes
Il me semble que (ppcm(r,m)/r) donne bien l'ordre de g^r si m est l'ordre de g mais je n'arrive pas à le montrer
merci
06/06/2006, 10h29
#33
invite6b1e2c2e
Date d'inscription
janvier 1970
Messages
1 377
Re : Sous-groupes
C'est ça. Tu as essayé de regarder dans Z/nZ avec une loi additive ?
Ca pourrait te donner une jolie manière de le prouver...
__
rvz
06/06/2006, 10h42
#34
Bleyblue
Date d'inscription
juillet 2004
Messages
2 956
Re : Sous-groupes
Envoyé par rvz
C'est ça. Tu as essayé de regarder dans Z/nZ avec une loi additive ?
Mutliplicative avec n premier
Je vais essayer de le démontrer mais peut-être pas tout de suite car j'ai un examen qui approche et je dois avancer dans mes revisions. Je garde ça en réserve
merci !
06/06/2006, 11h39
#35
invite6b1e2c2e
Date d'inscription
janvier 1970
Messages
1 377
Re : Sous-groupes
Tant qu'à faire, additif, c'est plus facile, et en plus tu n'as rien à supposer sur n...
__
rvz
06/06/2006, 14h35
#36
Bleyblue
Date d'inscription
juillet 2004
Messages
2 956
Re : Sous-groupes
Oui
Ou alors U(Zn), inversibles de l'anneau Zn. Ca marche aussi ...
merci
06/06/2006, 14h49
#37
invite6b1e2c2e
Date d'inscription
janvier 1970
Messages
1 377
Re : Sous-groupes
Je t'assure que c'est plus compliqué, et ce pour une raison très simple : Quel est le cardinal de U(Zn) ?
Est-il cyclique ?
Maintenant, considère un groupe quelconque G et un élément g de G d'ordre q>1. Alors le sous groupe G_g engendré par g dans G est clairement isomorphe à Z/qZ, muni de la loi additive, en envoyant g sur 1. En tout cas, c'est clairement un sous groupe à q éléments. Mais je ne sais pas forcément trouver un n tel que U(Zn) a pour cardinal q...
D'ailleurs, une question qui me vient comme ça : Je ne sais même pas s'il existe un n tel que cardinal(U(Zn)) = q, ou au moins, tel que q divise cardinal(U(Zn)). Est-ce qu'il n'y aurait pas des entiers q qui n'auraient jamais cette propriété ?
PS : En fait, tu peux démontrer le résultat que tu as conjecturé en utilisant le résultat sur Zn muni de la loi additive, mais je n'en dis pas plus pour l'instant...
__
rvz
06/06/2006, 16h29
#38
Bleyblue
Date d'inscription
juillet 2004
Messages
2 956
Re : Sous-groupes
Envoyé par rvz
Je t'assure que c'est plus compliqué, et ce pour une raison très simple
Oui je n'en doute pas. Ne fut-ce que pour déterminer les ordres des éléments, il est toujours plus simples d'additionner que de multiplier
merci
06/06/2006, 17h16
#39
invite35452583
Date d'inscription
janvier 1970
Messages
2 523
Re : Sous-groupes
Envoyé par rvz
D'ailleurs, une question qui me vient comme ça : Je ne sais même pas s'il existe un n tel que cardinal(U(Zn)) = q, ou au moins, tel que q divise cardinal(U(Zn)). Est-ce qu'il n'y aurait pas des entiers q qui n'auraient jamais cette propriété ?
rvz
Je crois ne pas dire de bêtises en disant :
Pour l'égalité il y a plein de q qui sont <>U(Zn) pour tout n : les impairs distincts de 1
Zn=produit de ces p-Sylow qui sont cycliques
U(Zn)=produit des U des précédents
pour p impair, donc pair (cyclique)
pour p=2, non cyclique pour m>=3 mais pair quand même (ou 1 cas de Z/2Z)
Par contre q divise et même il existe un élément d'ordre q dans U(Zn) si.
Ceci dit, tu as raions que (Zn,+) est le groupe adapté à la question initiale
06/06/2006, 17h33
#40
invite6b1e2c2e
Date d'inscription
janvier 1970
Messages
1 377
Re : Sous-groupes
Merci Homotopie, j'avais plus la formule en tête (c'est rigolo d'ailleurs, parce qu'elle vient de me revenir sur le topic inversibles d'un anneau). Je suppose qu'en fait, même pour les q pairs, ce n'est pas clair du tout. Finalement, avec cette formule, un nombre q est un cardinal d'un U(Zn) ssi
ce qui ne doit pas arriver fréquemment...
__
rvz
06/06/2006, 23h40
#41
invite35452583
Date d'inscription
janvier 1970
Messages
2 523
Re : Sous-groupes
Envoyé par rvz
Je suppose qu'en fait, même pour les q pairs, ce n'est pas clair du tout. Finalement, avec cette formule, un nombre q est un cardinal d'un U(Zn) ssi
ce qui ne doit pas arriver fréquemment...
__
rvz
q=14, q=26 sont des exemples (ce sont les plus petits, il faut patienter : on patauge dans les premiers pour les petites valeurs). Il doit y en avoir des "tonnes", en effet.