Fonction de Dawson

[Antikhippe]

Bonjour,

Voici la fonction de Dawson : .

Il faut trouver une relation entre f⁽ⁿ⁺¹⁾ et f^(n-1) mais j'ai cherché les 5 premières dérivées de f sans succès...

Pouvez-vous m'aider ?
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[invitedef78796]

Salut,

Si tu dérives f tu trouves (si je ne dis pas de bêtises...) :
f'(x)=-2x*f(x)+1. Du coup, tu dois sans doute pouvoir appliquer la formule de Leibniz a f' au rang n...

@+

[invitebb921944]

Pour compléter ce qu'à dit IceDL
Si tu dérives deux fois f, tu obtiens
f''(x)=(4x²-2)f(x)-2x (à part si j'ai fait une erreur de calcul)
Après, en utilisant Leibniz au rang n-1, tu devrais trouver la relation recherchée.

[Antikhippe]

Merci beaucoup à tous les deux ! Je n'avais pas du tout pensé à utiliser Leibniz...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Antikhippe]

Je trouve pareil que vous pour f' et f'' mais quand j'appique Leibniz ensuite, je trouve que f⁽ⁿ⁺¹⁾ ne dépend pas que de f^(n-1) mais aussi d'autres dérivées de f...

[indian58]

en dérivant n fois f'=1-2x*f, on obtient: (n>=1)
f⁽ⁿ⁺¹⁾= -2(x*f⁽ⁿ⁾+n*f^(n-1))

[Antikhippe]

Oui c'est ce que j'ai trouvé mais le problème, c'est qu'il y a du f⁽ⁿ⁾...

[invitedef78796]

Salut,

A mon avis, avoir une "meilleure" relation de récurrence(sans f⁽ⁿ⁾ ) est peu probable car si f⁽ⁿ⁺¹⁾ s'exprimme disons assez simplement en fonction de f^(n-1), alors en combinant avec la relation de Indian58 tu trouve une relation entre f⁽ⁿ⁺¹⁾ et f⁽ⁿ⁾ seulement (et donc bien meilleure que celle que tu cherches).

Ceci dit c'est partir du présupposé que l'on a une relation de récurrence du style f⁽ⁿ⁺¹⁾=P(x) * f^(n-1)+Q(x). Il faut peut être chercher plus compliqué mais pour l'instant je ne vois pas...

@+