Une question d'arithmetique

[invite47ecce17]

Bonjour,
Est il vrai que si K est un corps valué non archimédien, complet pour la valuation, et L une extension finie de K, si on prend a un element de L, pour que a soit entier sur O_K, l'anneau de valuation de K, il faut et il suffit que la norme de L sur K de a soit dans O_K.

Un sens est trivial, mais j'arrive pas à démontrer l'autre sens, qui me parait "trop beau" pour etre vrai. Ca voudrait dire que si on prend un polynome unitaire irreductible sur K, a coefficient dans K, il suffit que son terme constant soit dans O_K pour forcer TOUS les coefficients à etre dans O_K. Ca a aucune chance de marcher, mais je ne trouve pas de contre exemple.
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[invite47ecce17]

Ha ! En me relisant, je viens de comprendre pourquoi c'est vrai et stupidement vrai en fait !!

[invite47ecce17]

Tant que j'y suis, j'ai une autre question. Je suis vraiment à la ramasse en arithmétique
Il est bien connu que la cloture algébrique, notée L, d'un corps p-adique, celle de Q_p donc, n'est pas complete pour l'unique extension de la valuation sur Q_p, par contre la completion de L reste algébriquement close, et est notée C_p.
Est ce qqun aurait une preuve, ou un lien vers une preuve de ce truc. C'est bien connu, mais j'en ai jamais regardé une preuve.
Est ce que ca reste vrai pour tout corps local ? J'ai la sensation que oui, mais comme je connais pas la preuve, pour le cas d’égale caractéristique il se pourrait que ca ne marche pas.

[invite9dc7b526]

ça n'est pas traité dans le cours d'arithmétique de Serre?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite47ecce17]

Je ne l'ai pas, mais ca m'etonnerait un peu, il me semble qu'il parle de choses plus elementaires que ca, je ne crois pas qu'il mentionne C_p.

[invite47ecce17]

Ok, je pense avoir trouvé une preuve du premier point qui fonctionne pour un corps local quelconque, grace à la propriété de Baire et au lemme d'Hensel, décidement c'est vraiment le couteau suisse ce truc, c'est deja lui qui rendait trivialement vrai la réponse ma premiere question.
Me reste plus qu'a trouver pourquoi C_p reste algébriquement clos.

[invite9dc7b526]

tiens j'ai trouvé ça : https://en.wikipedia.org/wiki/Krasner%27s_lemma

[invite47ecce17]

Super ! Ca marche comme sur des roulettes avec ce lemme ! Il est pas bien dur a prouver lui non plus.

[0577]

Bonjour,

mini remarque: le lemme de Krasner, tel qu'énoncé dans la page wikipédia mise en lien ci-dessus, s'applique à un polynôme séparable. C'est bien sûr suffisant pour C_p ou tout autre cas de caractéristique zéro
mais pas pour le cas général de caractéristique p. Néanmoins, le fait que la complétion de la clôture algébrique est algébriquement close est vrai quelle que soit la caractéristique (voir par exemple une preuve dans
http://math.stanford.edu/~conrad/248...losurecomp.pdf )

[invite47ecce17]

Merci pour la preuve.
En fait, j'imagine que de toute façon dans le cas d'egale caracteristique ce qui joue le role de C_p, c'est la completion de la cloture séparable de k=F_p((t)), plutot que celle de sa cloture algébrique, qui n'est pas Galoisienne sur k (j'ai en tete par exemple le theoreme d'Ax-Sen-Tate, qui doit s'enoncer de toute façon pour k^sep.. en fait quel est l'interet de k^alg... peut etre géométrique en fait).

[0577]

En fait, j'imagine que de toute façon dans le cas d'egale caracteristique ce qui joue le role de C_p, c'est la completion de la cloture séparable de k=F_p((t)), plutot que celle de sa cloture algébrique, qui n'est pas Galoisienne sur k (j'ai en tete par exemple le theoreme d'Ax-Sen-Tate, qui doit s'enoncer de toute façon pour k^sep.. en fait quel est l'interet de k^alg... peut etre géométrique en fait).

En fait, la complétion de la clôture séparable coïncide avec la complétion de la clôture algébrique:

en utilisant le lemme de Krasner, on obtient que la complétion de la clôture séparable est séparablement close. Mais on peut en fait montrer qu'elle est algébriquement close (ce qui implique qu'elle contient la clôture algébrique du corps de départ et donc la complétion de cette clôture algébrique, d'où égalité car l'inclusion inverse est évidente). En effet, comme on sait déjà qu'elle est séparablement close, il suffit de montrer qu'on peut extraire des racines p-ièmes, où p est la caractéristique. Le problème a priori est qu'un élément x de la complétion de la clôture séparable peut être approché par des éléments x_n de la clôture séparable mais qu'on ne peut pas extraire des racines p-ièmes dans la clôture séparable (précisément puisque la clôture séparable peut être différente de la clôture algébrique). La solution est de remplacer l'équation X^p=x_n par X^p =\pi^n X + x_n où \pi est une uniformisante. On n'a fait que perturber l'équation par un terme très petit qui rend l'équation séparable. On peut alors résoudre cette équation dans la clôture séparable et l'effet de la perturbation disparaît dans la limite n ->\infty.

Cet argument permet de donner une démonstration différente du fait mentionné dans mon message précédent.