[TS] [Spé] Question d'arithmétique

[inviteea5db5e2]

Bonsoir,

je bloque à une question à la fin de mon DM. Je dois montrer que si 3ⁿ - 1 est divisible par 7 alors 3⁰+3¹+...+3^n-1 l'est aussi. J'ai montré la réciproque facilement en me servant de la somme des n premiers termes d'un suite géométrique de raison 3.

Mais pour l'autre partie de l'implication... une piste serait la bienvenue.

Merci d'avance !
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[Flyingsquirrel]

Salut

La somme 3⁰+3¹+3²+...+3^n-1 est la somme des termes d'un suite géométrique.

[inviteea5db5e2]

Certes, mais ca ne m'a aidé que dans le premier sens de l'équivalence. Or maintenant je veux montrer que si 3^n - 1 est divisible par 7 alors 1+ 3+ 3² +3^(n-1) est aussi divisible par 7.

Merci quand même.

[Flyingsquirrel]

J'ai compris mais c'est aussi utilisable pour montrer le sens direct alors pourquoi se priver ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1237a629]

Salut,

Bin vi, (3^n -1)=7k=2(3^0+3^1+...+3^(n-1))

Un ptit coup de lemme de Gauss et c'est bon

[inviteea5db5e2]

Donc je me sers de la somme des termes d'une suite géométrique, et après je dis que comme 7 ne divise pas 2 alors nécessairement d'après le théorème de Gauss, 7 divise 1+3+3²+...+3^(n-1) ?

C'est bien ça ?

[Flyingsquirrel]

C'est ça !