les nombres complexes terminale S

[invitec0a96032]

Voila l'énoncé d'un petit exercice de mathématiques,
a et b sont deux entiers. on pose u = a+ib. Démontrer, en utilisant un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, il existe deux entiers an et bn (n étant un indice et non une puissance) tels que z^n = an+ibn.

j'a cri :
p(n) : z^n = an +ibn

initialisaton : pour n = 1
z = a+ib
ainsi p(1) est vraie
hérédité : on suppose que p(n): z^n = an+ibn. démontrons que p(n+1) est vraie.
z^(n+1) = z^n * z avec z^n = n+ibn et z = a+ib
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[invitec0a96032]

j'ai oublier la suite :
z^(n+1) = (an+ibn)*(a+ib)
z^(n+1) = a(n+1) +ib(n+1)
pr réccurence p(n) est vraie pour tot n.
est ce que sa marce comme raisonnement. je ne vois pas trop à quoi correspondent les indices et si j'ai le droit de les manipuler ainsi..

après j'ai une autre question : soit q un entier qui peut s'écre comme la somme de deux carrés d'entiers. déduisez en que c'est pareil pour q^n.
Par contre là je ne sais pas comment faire.
Est ce quelqu'un pourrait m'aider?
merci d'avance

[invitec0a96032]

aidez moi svp, je n'avance pas...

[invitec0a96032]

quelqu'un doit bien avoir une petite idée non?
ou au moins me dire si je suis dans la bonne voie ou pas.
Pour la question 2 je ne vois pas par contre

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec0a96032]

ce ne serait pas plutôt :
z^(n+1) = (an+ibn)*(a+ib)
= (a.an+ib.an+ia.bn-b.bn)
= (a.an-b.bn) + (b.an+a.bn)i

et dpnc a.an- b.bn (a(n+1)) est un entier et b.bn +a.bn (b(n+1)) est un entier aussi.

vous en pensez quoi?

[invitea3eb043e]

j'ai oublier la suite :
z^(n+1) = (an+ibn)*(a+ib)
z^(n+1) = a(n+1) +ib(n+1)
pr réccurence p(n) est vraie pour tot n.
est ce que sa marce comme raisonnement. je ne vois pas trop à quoi correspondent les indices et si j'ai le droit de les manipuler ainsi..

après j'ai une autre question : soit q un entier qui peut s'écre comme la somme de deux carrés d'entiers. déduisez en que c'est pareil pour q^n.
Par contre là je ne sais pas comment faire.
Est ce quelqu'un pourrait m'aider?
merci d'avance

C'est juste ce truc, tu trouves une relation entre a(n+1) et a(n) et b(n), tu en conclus que a(n+1) et b(n+1) sont entiers. C'est bon.
L'autre question est une application de la première.
Si un nombre q s'écrit a²+b² alors ce nombre s'écrit |u|², carré de la norme du complexe u = a + i b
Alors le nombre q^n est le carré de la norme du complexe u^n, soit |u^n|². C'est assez facile à voir.
Et tu emploies le résultat de la première question.

[invitec0a96032]

merci beaucoup de ton aide. Je vais pouvoir y arriver désormais.
bonne soirée