Bonjour à tous,
Je suis en première année de Licence de mathématiques et j'ai un peu de mal avec les applications linéaires, notamment avec les notions de bases, image et noyau. Je bloque un peu sur l'exercice suivant :
Soit E=R^3 muni de la base canonique (e1,e2,e3). On définit l'endomorphisme f de E par :
x => -y+z
f: y x+2y-z
z -x+y-2z
1.On définit u1=(1,-2,-1), u2=(-1,1,2), u3=(-1,1,1)
a.Montrer que B=(u1,u2,u3) est une base de R^3.
b.Calculer f(u1), f(u2), f(u3) dans la base canonique de R^3.
c.Soit u de coordonnées (1,-3,2) dans la base B.
i)Donner les coordonnées de u dans la base canonique de R^3.
ii)Donner les coordonnées de f(u) dans la base canonique de R^3.
iii)Donner les coordonnées de f(u) dans B.
2.Déterminant Im f. Préciser sa dimension ainsi qu'une base.
3.En utilisant le théorème du rang et la question 1-b déterminer Ker f. Préciser sa dimension ainsi qu'une base.
4.Montrer que Ker f + Im f=R^3.
Ce que j'ai déjà fait :
1.
a.Je montre que c'est une famille libre, j'ai calculé le déterminant qui est différent de 0, donc (u1,u2,u3) forment une famille libre donc c'est une base.
b.Je remplace les coordonnées de u1, u2 et u3 dans f, donc f(u1)=(1,-2,-1), f(u2)=(1,-1,-2), f(u3)=(0,0,0).
c.i) u(1,-3,2) appartient à la base canonique de R^3 donc u=1(u1)-3(u2)+2(u3)=1(1,-2,-1)-3(-1,1,2)+2(-1,1,1) donc u=(2,-3,-5).
ii) Je remplace les coordonnées précédentes de u dans f : donc f(u)=(-2,1,5) dans R^3.
iii) u(1,-3,2) donc f(u)=1f(u1)-3f(u2)+2f(u3)=1(1,-2,1)-3(1,-1,-2)+2(0,0,0) donc f(u)=(-2,1,5) dans B.
Et c'est a partir de la question 2 que je sèche totalement, je n'arrive pas a savoir comment calculer une image et un noyau et encore moins dans une base.
Pour le noyau on résout l'équation f=0 ? Et pour l'image on utilise le théorème du rang ?
Si vous pouvez me donner un coup de main ! (Et vérifier rapidement mes réponses, car je ne suis pas sur à 100%).
Merci beaucoup !
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