Applications linéaires

[invite4c80defd]

Bonjour à tous,
Je vous contacte aujourd'hui car je rencontre un souci avec un petit exo.
Le voici:
Soit l'application linéaire f :E=>F (avec E=F=R³) dont la matrice relativement aux bases canoniques est

A=
2 1 1
1 2 -4
-1 0 -2

On me demande tout d'abord Ker f puis une base de Im f
Pour le noyau:j'ai pensé trouvé l'expression d'un vecteur f(v) avec v un vecteur de R³
J'ai obtenu ( si je ne me suis pas trompé)
2x+y+z
x+2y-4z
-x-2z

j'ai mis ces expressions égales à 0 pour le noyau et j'ai trouvé:
ker f = {a*(-2,3,1) / a appartenant à R}

Avec la relation rang de f = dim E - ker f,
j'ai rang f =2.
(corrigez si vous voyez des erreurs)
Maintenant, pour Im f:
dim (Im f) = rang f =2
je pensais dire que Im f est un SEV de F (de R³) et avec sa dimension en déduire quelque chose mais f est R³ et pas R² , donc je sais pas trop quoi faire avec tout ça...

Merci pour votre aide
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[gg0]

Bonjour.

La matrice de f te donne les coordonnées des images des vecteurs de la base de départ dans la base d'arrivée (voir ton cours - Toujours l'apprendre avant de faire des exercices). Ici, les deux bases sont la base canonique, donc tes colonnes sont des vecteurs de Im(f), et il suffit d'en trouver 2 qui sont non proportionnels pour avoir une base.

Cordialement.

[invite4c80defd]

ok merci je vais essayer ainsi

[invite6a7dc6d5]

ta deja l'existence d'un ker de rang 1 donc ta le polynome unitaire X qui divise ton polynome caractéristique : aprés un simple calcul Poly-carc=-X^3+2X^2-4X = -X(X^2-2X+4) calcul de delta et tu tire les 2 valeurs propre a et b qui reste puis tu résout AX=aX puit AY=bY tu tire les 2 vecteurs propres X et Y qui sont les générateurs de l'image

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Fazoumar,


pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ?

Sois sérieux, la réponse est évidente. Inutile ici de mettre en oeuvre des méthodes lourdes car générales. Et si ça se trouve, Isis-Mirka n'a jamais vu le polynôme caractéristique !!

Cordialement.

[invite6a7dc6d5]

Oui c'est vrai ^^" , je m’excuse Isis-Mirka , et merci gg0 pour votre remarque je prendrai note pour mes prochaine réponse ^^

[invite4c80defd]

c'est vrai que je n'ai jamais vu le polynome caracteristique , mais vous ne pouviez pas le savoir !
Merci quand meme d'avoir répondu , c'est gentil

J'ai encore une petite question:
j'ai pris les vecteurs u(2,1,-1) et v( 1,-4,-2) non colinéaires
Je vais encore dire une bétise mais j'ai doute: ce n'est pas gênant d'avoir dim (Im f )=2 et 2 vecteurs libres donc une base de Im f avec deux vecteurs de R³ ?

[gg0]

Ben ...

si la dimension est 2, une base a bien 2 éléments, non ?

Tu te compliques la vie, ce n'est pas une base de R³ que tu cherches !!!!

Cordialement.

[invite4c80defd]

oui c'est vrai que la dimension d'un SEV correspond au nombre de vecteurs d'une de ses bases .

Merci beaucoup pour votre aide.

[invite4c80defd]

Désolé de vous déranger encore et encore mais j'ai une question pour un autre exo ou il me faut justement trouver cette matrice avec :

f : R3=>R2
(x,y,z) =>(x-y,z-y)

on trouve bien cette matrice :
1 0
-1 -1
0 1
(j'ai un doute dans la méthode employée ..)

Merci beacoup

[invite4c80defd]

De plus, dans certains exercices, on me demande de calculer l'inverse de cette matrice , mais que cela représente-il ? ça ne peut pas etre les images des vecteurs de la base d'arrivée dans celle de départ (enfin je crois) donc qu'est-ce que c'est ?

merci d'avance

[sylvainc2]

La matrice est plutôt la transposée:

1 -1 0
0 -1 1

car les vecteurs colonnes d'une matrice sont des vecteurs de l'espace vectoriel d'arrivée, qui est R^2 ici, donc ils doivent avoir 2 composantes (les vecteurs de R^2 ont toujours 2 composantes). Donc la matrice doit avoir 2 lignes.

Pour son inverse, il n'y en a pas, car la matrice doit être carrée pour avoir un inverse. Mais on peut définir des pseudo-inverses dans certains cas.

[invite4c80defd]

ok merci beaucoup. En ce qui concerne les inverses, c'était un exo pour lequel on avait une matrice carrée, mais je ne comprend pas son interprétation , pouvez-vous m'en dire plus ?

Merci

[gg0]

Si M est la matrice de l'application linéaire f, qui est bijective (*), alors la matrice de la réciproque f^-1 de f est l'inverse N de M, c'est à dire NM=MN=I_n.
On note évidement N=M_-1.

Cordialement.

(*) donc les espaces vectoriels ont la même dimension, et la matrice est carrée.

NB : Tout ça n'est pas dans tes cours ? Et si tu les apprenais, au lieu de passer du temps à essayer de réinventer l'eau chaude ?

[invite4c80defd]

merci pour ces infos.
Donc la matrice inverse est celle de f-1 si j'ai bien compris ? le fait de dire qu'elle permet de passer de la base d'arrivée à celle de départ est un erreur ?

NB: je ne cherche pas a réinventer l'eau chaude ni même a trouver le fil à couper le beurre mais il n'est nul part fait mention d'une quelconque matrice inverse

Merci

[gg0]

Tu n'as rien sur le calcul matriciel ?
Il faut espérer que ça viendra, car c'est un outil important, par exemple pour résoudre des systèmes.

[invite4c80defd]

non je n'ai rien de tout ça en lien avec les applications linéaires..

Merci beaucoup en tout cas!