Montrer qu'une famille est une base et touver les coordonées

[invite66710c99]

Un petit souci, mais j'ai vraiment des doutes donc merci d'avance.
Voici l'énoncé.

Montrer que la famille B est une base de l'espace vectoriel E et donner les coordonnées d'un vecteur quelconque de E dans B.

E=R3, B={(1,0,0)(1,1,0)(1,1,1)}

J'ai résolu un systeme contient des inconnus

. Je trouve U=(a−b)(1,0,0)+(b−c)(1,0,0)+c( 1,1,1) ce qui montre que B est une famille génératrice de E et donc une base de coordonnées d'un vecteur U=(x,y,z) dans B étant a−b, b−c, et c respectivement.

j'ai qlcq confusion entre libre et génératrice

dans ce exo est ce qu'il est obligatoire de prouver que les vecteur e1,e2 et e3 son libre
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[invite23cdddab]

Une famille génératrice, c'est une famille qui permet d'obtenir tout les vecteurs de l'espace.

Tu as montré que tout vecteur (a,b,c) de R3 s'écrit comme une combinaison linéaire d'éléments de cette famille, elle est donc bien génératrice.


Une famille libre, c'est une famille telle qu'aucun des vecteurs ne s'écrit comme combinaison linéaire des autres. Le point fondamental, c'est qu'il n'existe alors pas deux combinaisons linéaires différentes qui donnent le même résultat. Pour prouver que ta famille est libre, il suffit de montrer que si a*e1+b*e2+c*e3 = 0 alors a=b=c=0


Et oui, il est obligatoire de prouver que ta famille est libre.

( Il existe cependant un théorème qui permet de le prouver rapidement, mais je te conseille de le faire ici "à la main" )

[invite6bfdf32a]

Ton ev est de dimension 3, trouver une famille libre de 3 vecteurs suffit, elle sera obligatoirement génératrice de R3. Donc ça sera une base.

[invite6bfdf32a]

Tu dois prouver que toute CL de tes 3 vecteurs ne peut former le vecteur nul de R3, sauf si tous les lambdas sont nuls.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6bfdf32a]

dans la base canonique (e1,e2,e3)