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Ellipse dans un parallèlogramme ?



  1. #1
    Dlzlogic

    Ellipse dans un parallèlogramme ?


    ------

    Bonjour,
    On sait qu'un rectangle définit une ellipse inscrite.
    Si ce rectangle est transformé en parallélogramme, que devient l'ellipse ? Je pense (j'en suis sûr) que ce n'est plus une ellipse.
    Ce qui me parait intéressant est que, avec une affinité, un carré est transformé en un rectangle, et le cercle inscrit en une ellipse.
    Maintenant si on applique une transformation affine (T+H+R+A) le rectangle sera transformé en parallélogramme et l'ellipse, je ne sais pas.

    -----

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  3. #2
    bon prof math

    Re : Ellipse dans un parallèlogramme ?

    Citation Envoyé par Dlzlogic Voir le message
    Je pense (j'en suis sûr) que ce n'est plus une ellipse.
    Bonsoiir. C'est une affirmation bien rapide. As-tu une preuve de cela ? un contre-exemple ?

  4. #3
    Dlzlogic

    Re : Ellipse dans un parallèlogramme ?

    Bonsoir,
    Il y a eu une question concernant un "parallélogramme d'incertitude". C'est une expression que je ne connaissais pas. On peut parler de façon impropre de rectangle d'incertitude, c'est impropre, puisqu'il s'agit forcément d'ellipse d'incertitude. Donc, je me suis posé la question lorsque le quadrilatère était un parallélogramme au lieu d'un rectangle, ce que cela pouvait donner. C'est pas plus compliqué que cela.
    Donc ma question,telle qu'elle est posée, sur le plan strictement géométrique, que devient une ellipse dans une transformation affine.

  5. #4
    Tryss2

    Re : Ellipse dans un parallèlogramme ?

    Une transformation affine correspond à un changement de repère. Donc une ellipse reste une ellipse, possiblement dégénérée (= un cercle). En effet : si on s’intéresse à l'équation cartésienne, il n'est pas trop dur de voir qu'il s'agit toujours d'une conique, et la transformation affine conserve le caractère borné : une conique bornée est une ellipse (ou un cercle).

  6. #5
    Dlzlogic

    Re : Ellipse dans un parallèlogramme ?

    Bonsoir Tryss,
    Sauf erreur, une des caractéristiques de l'ellipse est d'avoir deux axes de symétrie perpendiculaires. Or la transformation affine ne conserve pas les angles. C'est d'ailleurs la raison principale pour laquelle les services du cadastre l'ont longtemps refusée comme transformation de calage de plans. Je me demande si tu ne confonds pas avec l'affinité.
    Pour le visualiser, il suffit de dessiner un rectangle et l'ellipse inscrite. Puis le parallélogramme résultat de la transformation du rectangle par une transformation affine. Je ne pense pas que la transformée de l'ellipse inscrite dans le rectangle soit une ellipse inscrite dans le parallélogramme.
    En fait, c'est ma question.
    Pour mémoire, la transformation affine est le produit d'une translation, d'une affinité, d'une rotation et d'une homothétie.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Tryss2

    Re : Ellipse dans un parallèlogramme ?

    Tu peux penser ce que tu veux, mais as-tu fais les calculs que je t'ai proposé de faire?

  9. Publicité
  10. #7
    bon prof math

    Re : Ellipse dans un parallèlogramme ?

    C'est de la géométrie assez facile. Notons f une transformation affine, C1 une ellipse et C2 = f(C1) . Tryss2 a prouvé que C2 est une ellipse (conique bornée) !

    Citation Envoyé par Dlzlogic Voir le message
    Sauf erreur, une des caractéristiques de l'ellipse est d'avoir deux axes de symétrie perpendiculaires. Or la transformation affine ne conserve pas les angles.
    Erreur de raisonnement sous-jacent : les deux axes (perpendiculaires) d'une ellipse C1 ne sont pas envoyés sur les deux axes (perpendiculaires) de l'ellipse image f(C1).

    Citation Envoyé par Dlzlogic Voir le message
    Je ne pense pas que la transformée de l'ellipse inscrite dans le rectangle soit une ellipse inscrite dans le parallélogramme.
    Je répète : tu ne penses pas, tu es sûr, ok, mais as-tu un seul vrai contre-exemple à proposer ? as-tu fait un seul calcul ? (je m'associe au message de Tryss2 juste ci-dessus)

    Citation Envoyé par Dlzlogic Voir le message
    Pour mémoire, la transformation affine est le produit d'une translation, d'une affinité, d'une rotation et d'une homothétie.
    Justement, l'image d'une ellipse par ces 4 types de transformation est une ellipse (le moins trivial est le cas d'une transformation par affinité, mais cela reste simple).
    Dernière modification par bon prof math ; 20/03/2017 à 02h50.

  11. #8
    Dlzlogic

    Re : Ellipse dans un parallèlogramme ?

    Bonjour,
    J'avoue que ne vois pas les calculs que j'aurais pu ou dû faire.
    Soit une transformation affine dans le plan, faisant correspondre à tout point p[x,y] un point P[X,Y]. La formule de transformation est la suivante
    X = TX + Ax + By
    Y = TY + Cx + Dy
    Les paramètres TX, TY, A, B, C, D sont les paramètres de la transformation affine.
    Cette transformation conserve les rapports de distance, main ne conserve pas les angles.
    Donc un rectangle sera transformé en un parallélogramme.

    Je reprends la réponse de Tryss
    Une transformation affine correspond à un changement de repère.
    Il me semble qu'un changement de repère est caractérisé par un vecteur (ie un bipoint orienté).
    Dans le cas présent il FAUT 3 points pour définir une transformation affine.

    Je pose la question autrement : supposons qu'on ait une fonction que trace une ellipse inscrite dans un rectangle, cette fonction sera-t-elle utilisable dans un parallélogramme ?

  12. #9
    feanorel

    Re : Ellipse dans un parallèlogramme ?

    Et bien tu peux te renseigner sur les coniques. Tu verras que l'équation cartésienne d'une conique s'écrit
    Si tu fais un changement de repère, i.e. pose et ,
    tu vas obtenir une nouvelle équation cartésienne que vérifie les points de l'ellipse dans le nouveau repère .
    Tu peux donc constater que l'image d'une conique par une transformation affine est bien une conique. Il reste à ajouter que puisque la conique de départ est une ellispe elle est bornée,
    que par conséquent la conique image est bornée et donc que la conique image est une ellipse.

  13. #10
    Dlzlogic

    Re : Ellipse dans un parallèlogramme ?

    Je rappelle la formule de la transformation affine :
    X = TX + Ax + By
    Y = TY + Cx + Dy
    Il y a 6 paramètres et non pas 4.

  14. #11
    feanorel

    Re : Ellipse dans un parallèlogramme ?

    Exact, j'ai tapé trop vite. Il suffit de lire et .
    Le reste est parfaitement valable.

    P.S : c'est beaucoup plus efficace d'écrire ça sous forme matricielle : X' = A X + b.

  15. #12
    bon prof math

    Re : Ellipse dans un parallèlogramme ?

    Citation Envoyé par Dlzlogic Voir le message
    J'avoue que ne vois pas les calculs que j'aurais pu ou dû faire.
    quand on affirme quelque chose, on fournit une preuve : soit on démontre de manière générale que la proposition est vraie (ce qu'a fait Tryss2, relayé par feanorel ; je t'ai également indiqué un preuve en passant par une décomposition T+H+R+A), soit on prouve que la proposition est fausse par un contre-exemple (concret, avec calculs explicites des axes, de l'image, etc.) .
    Tu n'as fait ni l'un ni l'autre... Tu ne sens pas la nécessité de fournir une preuve ? (autre que "je suis sûr que")
    Dernière modification par bon prof math ; 20/03/2017 à 15h21.

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  17. #13
    Médiat

    Re : Ellipse dans un parallèlogramme ?

    Bonsoir

    Les réponses mathématiques ayant été fournies par Tryss2, feanorel et bon prof math, ce fil n'a plus aucune raison de perdurer

    Médiat, pour la modération
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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