montrer qu'une famille est génératrice

[invite694e58cc]

Bonjour, en algèbre linéaire, je n'ai pas trop bien compris la notion de famille génératrice et je pense que le mieux pour l'intégrer est de m'entrainer.
Voila, je cherche simplement à montrer pour quelles valeurs de "a" la famille G suivante est-elle génératrice de K4:
G= (a,1,1,1),(1,a,1,1),(1,1,a,1), (1,1,1,a)
j'ai vu que dans d'autres topics, on utilisait la notion de dimention que je n'ai pas vue encore.
Je ne sais pas comment appliquer les définitions du cours à cet exemple, pouvez vous m'aider ?
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[invite9617f995]

Une famille G est génératrice si tout vecteur de ton espace vectoriel E (ici K⁴) peut être écrit comme combinaison linéaire des vecteurs de F. Donc ici, la technique bourrine consiste à chercher si pour tout vecteur V=(x,y,z,t), on peut trouver les lambdas i tels que :



Cette égalité donne un système de 4 équations à 4 inconnues, qui permet de trouver des lambdas précis à une certaine condition sur a.


Cependant, ici tu as une famille G de 4 vecteurs dans un espace de dimension 4 (Kⁿ est de dimension n). Donc tu as l'équivalence suivante :
G est génératrice <=> G est une base <=> G est libre.

Donc il te suffit de montrer que ta famille est libre, ce qui est plus simple. tu poses cette fois ci les lambdas i tels que :



Et je te laisse prouver que si tu as une certaine condition sur a vérifiée, alors tous les lambdas sont nuls (ce qui est la définition de G libre)

Voilà, essaye déjà ça

[invite694e58cc]

Merci pour ta réponse, c'est bien ce que je craignez: je vais devoir résoudre un systeme affreux puisque je ne peut pas utiliser les propriétés que tu as cité. Tant pis, au boulot...

[ichigo01]

Avec la méthode de Gauss ça devrait être facile !

[A voir en vidéo sur Futura]