Montrer Qu'une famille est génératrice !!

TheConfident · 22/12/2011, 10h51

Salut à tout le monde

On note $\text{[math]}$ base canonique de $\text{[math]}$
On a $\text{[math]}$

tq: $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
$\text{[math]}$

je vx montrer que B' est une base de $\text{[math]}$ :
Alors je montre que B' est libre et génératrice..
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ tq:
$\text{[math]}$
mais j'arrive pas à montrer celà..
merci d'avance de m'aider..

**cleanmen** · 22/12/2011, 11h01

Salut,
Tu dois connaître un outil très puissant pour montrer que la famille est libre.
indication:

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TheConfident · 22/12/2011, 11h11

Pass (B,B') ???

**cleanmen** · 22/12/2011, 11h43

tout à fait.
Quel outil connais-tu pour savoir si une matrice est de rang 3.
je te rappelle qu si ta matrice est de rang 3 alors tes 3 colonnes sont des vecteurs indépendants.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

TheConfident · 22/12/2011, 12h25

Tu vx dire si les 3 vecteurs de la famille sont indépendantes alors la matrice est de rang 3
mais ça veut dire que la famille est libre.. moi je veux montrer qu'elle est génératrice..

**Seirios** · 22/12/2011, 12h44

Bonjour,

Il n'est pas nécessaire de montrer que ta famille est génératrice : si tu trouves n vecteurs linéairement indépendants dans un espace à n dimensions, tu sais que ces vecteurs constituent une base.

**cleanmen** · 22/12/2011, 12h47

Ta famille est constituée de 3 éléments, donc si elle est génératrice c'est une base de R3.
Donc elle est génératrice ssi elle est libre.

Connais-tu le déterminant? Ca permettait de conclure vite et je pensais à ca lorsque je t'ai proposé de passer par des matrices.

Si tu ne connais pas le déterminant, alors il vaut peut-être mieux revenir à la définition comme tu l'as proposé dans ton premier post: tu veux montrer que ta famille est libre (ca montrera qu'lle est generatrice): donc tu dois montrer que les alpha_i (de ton premier post) sont tous nuls: or ceux-ci vérifient 3 équations, donc tu as un système de trois équations à trois inconnus à résoudre.

TheConfident · 22/12/2011, 13h19

En vérité la question était mq B est une base..
Je suppose que $\text{[math]}$ est fini alors il admet une famille génératrice B.
et puisque CardB=dimE = 3 donc B est une base de E
C'est correct ?
Merci

**lémathdabor** · 22/12/2011, 13h36

je pense que oui sachant que le nombre de vecteurs indépendants (ici 3 ) est égale à la dimension de B' donc c'est une base de $\text{[math]}$ ...
pour montrer que les 3 vecteurs de B' sont indépendants il faut montrer que $\text{[math]}$ ...

TheConfident · 22/12/2011, 14h00

Wi c vré, on aura
$\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$

TheConfident · 22/12/2011, 14h08

Une Question SVP comment calculer la puissance n-ième d'une matrice ?
$\text{[math]}$

**Seirios** · 22/12/2011, 14h21

On peut notamment trouver un polynôme annulant A en calculant ses premières puissances, puis s'en servir pour un raisonnement par récurrence, ou bien encore diagonaliser A.

TheConfident · 22/12/2011, 14h34

Une fois on a une matrice diagonnale alors

$\text{[math]}$
??

**Seirios** · 23/12/2011, 10h03

Oui, tout à fait.

TheConfident · 24/12/2011, 11h07

Merci à vous tous

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