Bonjour
J'ai un exo qui à la base traite des suites de fonctions mais cette question n'a pas vraiment de lien et elle m'empeche de poursuivre l'exo ;
Une suite de fonction définie sur [0;1] avec:
U₀(x)=1
Un+1(x)=1+∫Un(t-t²)dt , 0<t<x
On me demande de montrer par récurrence que :
0≤ Un+1(x) - Un(x) ≤ xⁿ⁺¹⁄(n+1)!
Donc je vérifie P(0) je trouve bien :
0≤U₁(x)-U₀(x)=x ≤ x
Puis en supposant que P(n) est vraie, j'ai du mal à vérifier P(n+1) , une indication svp ?
Je vous remercie
Salut
Tu as montré P(n), le tout est donc de s'aider de se résultat pour montrer P(n+1):
As-tu essayé d'exprimeren fonction de
Sinon une indication... en effet l'exercice ne porte pas vraiment sur les suites de fonction, en revanche les intégrales de fonctions positives et continues sur un segment...
Cordialement,
Quentin
EDIT: l'aspect "continues" n'est pas trivial, il faut bien en tenir compte dans la démo
Bonjour ! merci pour ton intervention,
J'ai essayé et ça a bien marché , je suis arrivée au résultat voulu..
En réalité , après cela ,on me demande d'en déduire si Un converge, je suppose qu'on se suffit du fait qu'elle soit croissante (évident) et majoré, (que d'ailleurs je ne vois pas comment le montrer à partir de la relation de récurrence... C'est ici qu'interviennent les intégrales ?
Non.
Par contre avec ce résultat, tu peux montrer que, quelque soit x, Un(x) est une suite de Cauchy (penser aux sommes télescopiques)
emm merci mais j'ai pas abordé cette notion dans mes cours
avec ta deuxième inégalité :
Un+1(x) - Un(x) ≤ xⁿ⁺¹⁄(n+1)!
tu peux montrer facilement que
Un(x)<= sigma très très connu !
J'ai pensé a la serie entiere (exp(x)) .. mais si je remplace Un+1(x) par Un j'aurais une integrale au milieu et je vois vraiment pas comment m'en débarasser ..
ça ne te suffit pas ?Envoyé par MELISSAGAHLOUZ
Mais je dois majorer Un(x), alors que dans mon inégalité j'ai pas que ça
dans ton inégalité tu as :
Un+1(x) - Un(x) ≤ xⁿ⁺¹⁄(n+1)! ; avec U0(x)=1
donc
U1(x)<=1+x <=exp(x)
U2(x)<=U1(x)+x²/2!=1+x+x²/2! <=exp(x)
et par récurrence immédiate
Un(x)<=exp(x)
Je comprends, Merci !
