Raisonnement par récurrence
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Raisonnement par récurrence



  1. #1
    MELISSAGAHLOUZ

    Raisonnement par récurrence


    ------

    Bonjour

    J'ai un exo qui à la base traite des suites de fonctions mais cette question n'a pas vraiment de lien et elle m'empeche de poursuivre l'exo ;

    Une suite de fonction définie sur [0;1] avec:
    U₀(x)=1
    Un+1(x)=1+∫Un(t-t²)dt , 0<t<x

    On me demande de montrer par récurrence que :

    0≤ Un+1(x) - Un(x) ≤ xⁿ⁺¹⁄(n+1)!

    Donc je vérifie P(0) je trouve bien :

    0≤U₁(x)-U₀(x)=x ≤ x

    Puis en supposant que P(n) est vraie, j'ai du mal à vérifier P(n+1) , une indication svp ?

    Je vous remercie

    -----
    Dernière modification par MELISSAGAHLOUZ ; 27/03/2017 à 19h10.

  2. #2
    theguitarist

    Re : Raisonnement par récurrence

    Salut

    Tu as montré P(n), le tout est donc de s'aider de se résultat pour montrer P(n+1):


    As-tu essayé d'exprimer en fonction de , et en fonction de ? Ca peut être un bon point de départ

    Sinon une indication... en effet l'exercice ne porte pas vraiment sur les suites de fonction, en revanche les intégrales de fonctions positives et continues sur un segment...

    Cordialement,

    Quentin

    EDIT: l'aspect "continues" n'est pas trivial, il faut bien en tenir compte dans la démo
    Dernière modification par theguitarist ; 27/03/2017 à 22h36.

  3. #3
    MELISSAGAHLOUZ

    Re : Raisonnement par récurrence

    Bonjour ! merci pour ton intervention,

    J'ai essayé et ça a bien marché , je suis arrivée au résultat voulu..

    En réalité , après cela ,on me demande d'en déduire si Un converge, je suppose qu'on se suffit du fait qu'elle soit croissante (évident) et majoré, (que d'ailleurs je ne vois pas comment le montrer à partir de la relation de récurrence ... C'est ici qu'interviennent les intégrales ?

  4. #4
    Tryss2

    Re : Raisonnement par récurrence

    Non.

    Par contre avec ce résultat, tu peux montrer que, quelque soit x, Un(x) est une suite de Cauchy (penser aux sommes télescopiques)

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    MELISSAGAHLOUZ

    Re : Raisonnement par récurrence

    emm merci mais j'ai pas abordé cette notion dans mes cours

  7. #6
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Raisonnement par récurrence

    avec ta deuxième inégalité :
    Un+1(x) - Un(x) ≤ xⁿ⁺¹⁄(n+1)!
    tu peux montrer facilement que
    Un(x)<= sigma très très connu !
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  8. #7
    MELISSAGAHLOUZ

    Re : Raisonnement par récurrence

    J'ai pensé a la serie entiere (exp(x)) .. mais si je remplace Un+1(x) par Un j'aurais une integrale au milieu et je vois vraiment pas comment m'en débarasser ..
    Dernière modification par MELISSAGAHLOUZ ; 28/03/2017 à 19h02.

  9. #8
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Raisonnement par récurrence

    Citation Envoyé par MELISSAGAHLOUZ Voir le message
    J'ai pensé a la serie entiere (exp(x)) ..
    ça ne te suffit pas ?
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  10. #9
    MELISSAGAHLOUZ

    Re : Raisonnement par récurrence

    Mais je dois majorer Un(x), alors que dans mon inégalité j'ai pas que ça

  11. #10
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Raisonnement par récurrence

    dans ton inégalité tu as :
    Un+1(x) - Un(x) ≤ xⁿ⁺¹⁄(n+1)! ; avec U0(x)=1
    donc
    U1(x)<=1+x <=exp(x)
    U2(x)<=U1(x)+x²/2!=1+x+x²/2! <=exp(x)
    et par récurrence immédiate
    Un(x)<=exp(x)
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  12. #11
    MELISSAGAHLOUZ

    Re : Raisonnement par récurrence

    Je comprends, Merci !

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