Espace vectoriel des polynômes et produit scalaire

[fabio123]

Bonjour,

je fais une confusion concernant la définition d'un produit scalaire dans l'espace vectoriel des polynômes R[X].
En effet, si je prends un polynôme P égal à :



J'ai vu que l'on pouvait définir le produit scalaire défini avec et qui donne le scalaire .

Un produit scalaire peut aussi se définir comme le produit entre un vecteur de la base de départ (ici R[X] et écrit sous forme d'une colonne) et un vecteur
de base duale.

Dans le produit scalaire que j'ai mentionné ci-dessus ( ), est-ce qu'il est correct d'écrire pour le covecteur, c'est-à-dire pour l'expression
de la forme linéaire associée (sous forme d'une ligne) :



???

Le produit du vecteur colonne avec ce covecteur donnerait bien alors la valeur de en : est-ce que cette façon de définir les choses est correcte ?

Par contre, je crois qu'en règle générale, dans le produit scalaire entre un vecteur et un covecteur, les coordonnées du covecteur (je veux dire les coordonnées de la forme linéaire) ne changent pas et ce sont les coordonnées du vecteur qui changent. On écrit la forme linéaire agissant sur le vecteur sous la forme , alors qu'avec ce que j'ai mentionné ci-dessus, le produit scalaire s'écrit . On a donc les coefficients variables et le coefficient variable générant le covecteur .

Si quelqu'un pouvait me donner quelques éclaircissements,

Merci d'avance pour votre aide
-----

[invite23cdddab]

Un produit scalaire est une forme bilinéaire positive définie.

Mais clairement n'est pas une forme bilinéaire positive définie.

En particulier, un produit scalaire dans l'espace vectoriel des polynômes R[X], c'est forcément entre deux polynômes de R[X]

[fabio123]

Ok, d'après ce que vous dites, je ne peux pas parler de produit scalaire entre un covecteur et un vecteur. Dois-je simplement me limiter à dire que l'application, qui à un polynôme P(X) associe la valeur de en , est une simple forme linéaire, qui part d'un vecteur et qui donne un scalaire via sa définition ??

Merci

[gg0]

Oui,

pour a réel donné, l'application de R[X] dans R qui a P associe P(a) étant linéaire est une forme linéaire. Par contre, tu inventes une notation sans grand intérêt, j'imagine pour te rapprocher du produit scalaire canonique dans R^n. Mais alors, quelle utilité de parler de polynômes ? D'autant que si P et Q n'ont pas le même degré, il va falloir changer la définition de .
D'ailleurs, ce que tu écris est malsain, puisque la lettre est utilisée pour deux usages différents. Sans compter que ton n'est pas un polynôme, ou bien si on veut l'interpréter comme polynôme, un polynôme très particulier.

Sinon, il existe des produits scalaires sur l'espace vectoriel des polynômes, qui peuvent avoir une utilité, suivant ce qu'on veut faire.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[fabio123]

Dans un cadre plus général (en ne considérant pas que l'espace des polynômes Rn[X]), je fais une confusion entre la notion de covecteur (que l'on rencontre en calcul tensoriel comme vecteur exprimé dans la base duale) et l'expression d'une forme linéaire sous forme du produit scalaire entre un vecteur ligne (représentant les formes coordonnées) et un vecteur colonne (vecteur sur lequel la forme linéaire agit) , qui ne devrait pas s'appeler "produit scalaire" d'après ce que vous dites.

Pourriez-vous me dire si l'écriture des formes coordonnées dans le cas d'une forme linéaire n'est pas assimilable à un covecteur tel qu'il est défini en calcul tensoriel ?

Par exemple, en prenant les définitions suivantes (avec x un vecteur appartenant à E et l une forme linéaire appartenant à E*) :

Si , alors

Si , alors

Je veux rajouter que dans ces définitions, on considère la notation bracket comme le crochet de dualité (similaire à un produit scalaire ?).

Si je veux exprimer l'action de la forme linéaire "l" sur le vecteur "x" , je peux écrire :







Cette dernière expression de la forme linéaire "l" est-elle correcte et comment puis-je faire le lien avec le fait que, avec cette expression, l'action de la forme linéaire "l" sur le vecteur "x" n'est pas un produit scalaire entre "l" et "x" ?

Merci pour vos éclaircissements

[AncMath]

Cette dernière expression n'est pas l'expression de la forme linéaire mais de l'action de sur un vecteur . Elle est parfaitement correcte cela dit.

[AncMath]

En fait le théorème que tu évoques dans ces lignes

je fais une confusion entre la notion de covecteur (que l'on rencontre en calcul tensoriel comme vecteur exprimé dans la base duale) et l'expression d'une forme linéaire sous forme du produit scalaire entre un vecteur ligne (représentant les formes coordonnées) et un vecteur colonne (vecteur sur lequel la forme linéaire agit) , qui ne devrait pas s'appeler "produit scalaire" d'après ce que vous dites.

dit justement que la confusion que tu fais est possible dans le cas d'un espace vectoriel de dimension fini, ce qui est très facile à montrer, ou même dans un espace de Hilbert mais c'est un petit peu plus difficile à montrer.
Si tu disposes d'un produit scalaire, alors toute forme linéaire continue sur ton espace est le produit scalaire avec un unique vecteur de celui-ci bien déterminé.
Dans ce cas on peut identifier un espace avec son dual grâce à ce produit scalaire et vecteurs et covecteurs.

[AncMath]

Je vois que tu as édité ton message du coup ma première remarque tombe à l'eau !

[fabio123]

merci AncMath, du coup, on peut assimiler le crochet de dualité à un produit scalaire ?

[AncMath]

Tout dépend de ce que tu entend par assimiler. Ce qui est sûr c'est que ça n'est pas la même chose.

[fabio123]

Dans ce cas on peut identifier un espace avec son dual grâce à ce produit scalaire et vecteurs et covecteurs.

Quand tu dis que l'on peut identifier un espace avec son dual, tu veux parler de l'espace vectoriel euclidien où la base est identique à la base duale ?

[AncMath]

Déjà une notation : si est un vecteur de notre espace euclidien , par je désigne la forme linéaire telle que
Ici est le produit scalaire sur .

Ensuite tu grilles des étapes si je peux me permettre. Une base ne peut jamais être identique à sa base duale puisqu'elles ne vivent pas dans le même espace. Par contre un produit scalaire permet d'identifier une base et sa base duale POUR UNE BASE ORTHONORMEE. Plus précisément si une une base orthonormée d'un espace euclidien alors la famille de forme linéaires est la base duale associée à . C'est en ce sens qu'on les identifie. Mais même en présence d'un produit scalaire il est faux que soit la base duale de si n'est pas orthonormée.

Cette identification fait que le crochet de dualité et le produit scalaire s'identifient eux aussi. Tu as
ou le crochet extérieur du premier membre est le crochet de dualité et celui intérieur est le produit scalaire. Celui du second membre est le produit scalaire également.

[fabio123]

Je reprends le fil de cette discussion car je n'ai pas encore saisi toutes les subtilités des concepts.

Concernant l'espace vectoriel des polynômes, si je prends la forme linéaire sur définie par :



est " l'évaluation " de P(X) en

Alors, la famille les polynômes de Lagrange a pour base duale la famille de formes linéaires .

Quand on écrit : , les crochets correspondent-ils à un crochet de dualité et non un produit scalaire ?

(1) D'après ce que je crois comprendre, une forme linéaire est associé au crochet de dualité et agit sur un seul vecteur, tandis qu'une forme bilinéaire est associé à un produit scalaire donnée (déterminée par la matrice des composantes ) et fait intervenir 2 vecteurs. Par contre, quand je calcule le produit scalaire entre un vecteur x et y avec les notations tensorielles, j'ai :

, j'obtiens donc le produit scalaire canonique entre les composantes covariantes du vecteur et les composantes contravariantes du vecteur .

Mais je pourrais aussi raisonner en disant que le vecteur représente une forme linéaire (plutôt ses composantes représentent des formes coordonnées) qui, via ce même produit scalaire (canonique), agit sur les composantes contravariantes du vecteur "classique" pour donner un réel (ou complexe), qui représente l'espace d'arrivée de toute forme linéaire agissant sur un vecteur et bilinéaire agissant sur 2 vecteurs.

Le Théorème de représentation de Riesz apporte de la confusion par rapport à ce je crois comprendre en (1). En effet, il dit que si je prends un espace de Hilbert H muni de son produit scalaire < . , . > ainsi qu'une forme linéaire "f" continue continue sur H, alors il existe un unique y dans H tel que pour tout x de H, on ait : f(x) = <y,x>

J'en conclus alors que l'action d'une forme linéaire continue sur un vecteur peut aussi être définie par un produit scalaire entre 2 vecteurs du même espace (en l'occurence le vecteur et le vecteur )[/QUOTE]

Toute aide est la bienvenue pour comprendre ces différentes interprétations.

[gg0]

Bonjour Fabio123.

Je traite de ce qui est élémentaire :
"les crochets correspondent-ils à un crochet de dualité et non un produit scalaire ?" Bien évidement, c'est le crochet de dualité qui est ici, il n'a pas été défini de produit scalaire. Si un produit scalaire avait été défini préalablement, il aurait fallu les noter de façon différente. Le fait que c'est évident est renforcé par ce qui suit :
"D'après ce que je crois comprendre, une forme linéaire est associé au crochet de dualité " ??? le crochet de dualité correspond à toutes les formes linéaires et à tous les vecteurs? C'est simplement l'application de dans (le corps de base) définie par .
"tandis qu'une forme bilinéaire est associé à un produit scalaire donné" Non ! On définit les formes bilinéaires indépendamment de tout produit scalaire. Au contraire, un produit scalaire est une forme bilinéaire particulière.

Comme tout ça est du cours de base d'algèbre linéaire (classe prépa ou L1/L2) et que tu sembles vouloir traiter de questions bien plus complexes, je ne saurais trop te recommander de reprendre une livre de cours d'algèbre linéaire de ces niveaux pour apprendre correctement ce dont il s'agit. Une bonne partie de tes difficultés devraient s'évanouir.

Cordialement.

[AncMath]

Ça a l'air d'être le sujet à la mode en ce moment sur ce forum !
Je pense que tu te noies dans un verre d'eau.

Le crochet de dualité est une application bilinéaire qui est définie comme s'applique sur . Rien de bien mystérieux la dedans.

Je me place dans le cas où dans la suite la situation pour est très légèrement plus complexe par ce que le produit scalaire sur un espace complexe n'est pas bilinéaire mais 1.5-linéaire ou sesquilinéaire. Ça ne devrait pas te poser de problème d'y transcrire tout cela une fois que tu l'as bien compris.

Tes applications sont bien des formes linéaires sur . La notation consiste à voir comme l'image de par le crochet de dualité. Mais ça n'est rien de plus que . Il n'y a aucun produit scalaire qui rentre en jeu ici.

Prenons maintenant une forme bilinéaire quelconque sur deux espaces. C'est une application qui est linéaire en chaque variable. En particulier cette application définit une autre application linéaire elle et donnée par . C'est une simple histoire de parenthésage. Tu as aussi une application définie par . En général on ne fait pas la distinction entre ces applications .

Prend maintenant un produit scalaire sur un espace réel , c'est une forme bilinéaire d'un type particulier elle est symétrique et définie positive. Je vais la noter pour être le plus clair possible. En particulier tu en déduis comme avant une application . On se demande si est un isomorphisme. C'est l'objet du théorème de Riesz.
En fait pour la norme définie par le produit scalaire tu t'aperçois sans peine que est toujours une forme linéaire continue. Si l'on note le dual topologique, c'est à dire le sous espace de constitué des formes linéaires continues alors va de dans et on ne peut espérer mieux que soit un isomorphisme de dans .

Le théorème de représentation de Riesz te dit que dans le cas où est un espace de Hilbert alors est un isomorphisme.
Cela signifie que toute forme linéaire continue sur s'écrit pour un unique de : si tu prend une forme linéaire continue sur alors il existe un unique tel que pour tout de .Dans le cas où est de dimension finie

Est ce que ceci est déjà clair ?

[AncMath]

Maintenant prend un espace vectoriel fini muni d'un produit scalaire , et prend une base de . Tu as deux bases de associée à la première c'est la base duale elle est définie par si et 1 sinon. Tu as aussi la base , le théorème de Riesz te dit que c'est une base de .
En général n'est pas .

Quand est un vecteur de pour calculer tu peux le calculer directement mais tu peux aussi essayer de le calculer comme . Si l'on note les coordonnées de dans la base alors ce qu'on note ce sont les coordonées de dans la base .

Ainsi si et alors de sorte que que j'aurai d'ailleurs très bien pu noter et cela vaut par définition de la base duale.

A ce stade là il ne doit normalement te rester qu'une question de nature pratique : comment trouver les si je connais les et inversement. Et la réponse est donnée par le produit scalaire et sa matrice. Ce que tu cherches ce sont les coordonnées de exprimées dans la base quand est lui exprimé dans la base , ceci est donné par la matrice de l'application linéaire écrite dans les base et mais cette matrice est la même que celle du produit scalaire exprimé dans la base .
En effet le coefficient de la matrice de vaut qui est le coéfficient de la matrice de dans mais celle ci est symétrique.

Pour trouver les si tu connais les alors ce que tu cherches est la matrice de l'inverse de est c'est l'inverse de la matrice de .

[fabio123]

Merci AncMath pour tes explications, j'y vois plus clair.

En reprenant les notations de la page suivante : https://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_scalaire#Base_quelconq ue , je comprends que l'on a 2 possibilités de redéfinir l'expression du produit scalaire entre 2 vecteurs et dont l'expression générale dans une base quelconque est :

avec



et



et

Pour faire le lien avec le calcul tensoriel, la matrice M correspond au tenseur métrique que l'on note classiquement .

A partir de l'expression (1), on a 2 solutions :

1*) soit j'isole , qui correspond à la notation utilisée par AncMath pour désigner la forme linéaire et je peux reécrire sous la forme :



A ce propos, ne faudrait-il pas écrire rigoureusement ce produit avec un crochet de dualité , c'est-a-dire : ???

2*) Soit j'isole , qui est égal aussi à une forme linéaire et j'ai donc :

Ces 2 façons de faire se retrouvent dans les 2 expressions équivalentes du produit scalaire entre 2 vecteurs en notations de calcul tensoriel :

correspond au cas 1*) car les coordonnées (appelées covariantes) sont celles de la forme linéaire

correspond au cas 2*) car les coordonnées (appelées covariantes) sont celles de la forme linéaire

J'ai aussi compris comment déterminer les composantes covariantes à partir des contravariantes et vice-versa; il suffit de multiplier ou d'inverser la matrice M associée au produit scalaire.

Par contre, je n'ai pas compris la notation :

pour désigner le coefficient de la matrice , n'y a-t-il pas une erreur de notation ?

Ensuite, le théorème de Riesz dit qu'il y a un isomorphisme de : ceci veut-il dire qu'il y a une bijection entre et son espace dual ?

Je crois comprendre que le théorème de Riesz fait le lien entre le produit scalaire de 2 vecteurs et le crochet de dualité qui intervient dans les formes linéaires :

Pour tout , il existe un seul tel que : : j'ai volontairement rajouter le crochet de dualité pour le produit car S'(x) est une forme linéaire, ça rejoint la question plus haut sur la nécessité ou non de le mettre.

Enfin, quand tu dis qu'en général n'est pas , est-ce parce que ??? si tu pouvais m'expliquer ce que tu veux dire par-là ?

Merci beaucoup

[AncMath]

Déjà une chose avant de répondre en détail, mais c'est une confusion qui s’immisce partout dans ton message, donc autant lui tordre le cou tout de suite.

Prenons un espace vectoriel quelconque et son dual. Un élément du dual c'est une forme linéaire, autrement dit c'est une fonction . Quand on applique une forme linéaire, un élément de donc, sur un élément de on ne fait rien d'autre qu'évaluer une fonction sur un élément de son ensemble de départ. On écrit ça comme d'habitude , ça n'est pas un "produit" c'est simplement l'évaluation d'une fonction sur un élément de son ensemble de définition.

Dans ce contexte de dualité, de formes linéaires etc... on note aussi au lieu de . Il n'y a pas de notation plus rigoureuse que l'autre, cela désigne le même objet. Simplement la notation à base de crochet de dualité souligne une certaine symétrie entre les deux arguments.

Ainsi quand est un élément de , il définit aussi un élément de le dual du dual ou le bidual que je vais noter provisoirement par définie par . Cela donne une application qui est injective et est un isomorphisme en dimension finie. Le crochet de dualité sert aussi à rendre cet isomorphisme implicite quand on écrit on peut aussi y penser comme .

On peut totalement se passer du crochet de dualité. TOTALEMENT. C'est simplement censé être un raccourci notationnel et aussi nous donner quand même une notation pour l'application bilinéaire évidente à savoir .

S'il t'embête met le au placard !

[AncMath]

Par contre, je n'ai pas compris la notation :

pour désigner le coefficient de la matrice , n'y a-t-il pas une erreur de notation ?

Il y a déja un leger souci de que je ne m'expliquer pas car le code est correct mais il fait apparaître un "e" parasite.
Cela devrait être
Ensuite ce dernier coefficient est le coefficient de la matrice de mais celle-ci est symétrique donc c'est aussi le coefficient . La confusion venait-elle de là ?

Sinon peut-être vient elle de ceci est la base duale de la base duale ou la base "biduale". Avec mes notations du message plus haut, tu peux vérifier facilement que si est de dimension finie, alors la base duale de la base a pour base duale . Autrement dit si on identifie un espace est son bidual, la base biduale est elle même. Notre calcul revient à calculer qui est bien ce que j'écris

Ensuite, le théorème de Riesz dit qu'il y a un isomorphisme de : ceci veut-il dire qu'il y a une bijection entre et son espace dual ?

En dimension FINIE. Dans un espace de Hilbert de dimension non finie alors il faut prendre le dual topologique au lieu de . Et bien sûr qu'un isomorphisme entre espaces vectoriel est a fortiori une bijection entre eux.

Je crois comprendre que le théorème de Riesz fait le lien entre le produit scalaire de 2 vecteurs et le crochet de dualité qui intervient dans les formes linéaires :

Pour tout , il existe un seul tel que : : j'ai volontairement rajouter le crochet de dualité pour le produit car S'(x) est une forme linéaire, ça rejoint la question plus haut sur la nécessité ou non de le mettre.

Oui, il identifie via le crochet de dualité et le produit scalaire, exactement par la formule que tu as donné . Si l'on note de la même manière et et si l'on note aussi le produit scalaire par un crochet alors la formule devient . C'est pour cela que l'on utilise une seule notation pour tout. Bien sûr toutes ces identifications sont implicites et on pense de l'une à l'autre manière d'interpréter une notation en fonction de ce que l'on veut faire et du contexte.

Enfin, quand tu dis qu'en général n'est pas , est-ce parce que ??? si tu pouvais m'expliquer ce que tu veux dire par-là ?

L'application qui va je te rappelle de dans n'a pas de raison a priori d'envoyer sur . Elle envoie sur une forme linéaire qui peut être quelconque, enfin pas nulle non plus, mais en dehors de ça quelconque.
Si on avait pour tout alors on aurait nécessairement , ici est le symbole de Kronecker il vaut 1 si et 0 sinon, par définition de la base duale. Mais toujours par définition donc on aurait . Autrement dit pour le produit scalaire défini par la base devrait être orthonormale. Ce qui n'a aucune raison d’être le cas si on prend une base au hasard.

Si la base que tu prend au départ est bien orthonormée alors effectivement