Exercice complexe

[invite15c94a4e]

Bonjour,

Pouvez-vous verifier si mes resultats sont corrects, s'il vous plait ? Merci beaucoup.

1 On considère l'équation ((1 +iz)/( 1 −iz))^n = (1+ia)/(1 −ia), a ∈ R.

Montrer, sans les calculer, que les solutions sont réelles.

Ma reponse :

Soit P la propriété : "z est un reel". On montre que P est vraie par l'absurde donc que non P :" z n'est pas un reel" est vraie.

On suppose que ((1 +iz)/( 1 −iz))^n = (1+ia)/(1 −ia), a ∈ R et z appartenant Ã* l'ensemble des complexes, avec z=a+ib. On a donc :
((1 +iz)/( 1 −iz))^n = ((1 +i(a+ib)/( 1 −i(a+ib))^n = ((1-ia+b)/(1+ia-b²)) donc ((1-iz)/(1+iz))^n â‰* (1-ai)/(1+ai), a ∈ R donc non P est fausse et donc P vraie?
2) Calculer les racines cubiques de (√3 + i)/(√3 - i)

J'ai pose z= (√3 + i)/(√3 - i)= (1/2)+(√3/2)i=e^(iπ/3) donc z^(1/3)=e^(π/9)

J'ai tenté de resoudre z^(1/3)=e^(iπ/9), j'ai trouvé zk=e^(i(π/3 +6kπ)) avec k=0....

Je pense donc que cette reponse est fausse...merci pour votre aide
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[ansset]

Un message venant d'un smatphone est souvent illisible. Comme celui ci.
Il faut commencer par écrire sans accent ni certains symboles ( du portable ) .......

[invite15c94a4e]

D'accord, je reposte mon message

Je dois trouver les racines cubiques de ((racine de 3)+i)/((racine de 3)-i)

J'ai posé z=((racine de 3)+i)/((racine de 3)-i)=0,5 +(2(racine de 3)/4)i

J'ai calculé module de z, j'ai trouvé module de z= 1 et arg(z)=π/3 donc z=e^((pi/3)i) et donc z^(1/3)= e^((pi/9)i) ?

[jacknicklaus]

donc selon toi, z n'a qu'une seule racine cubique ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite15c94a4e]

Je ne sais pas comment faire pour trouver les autres racines....

[ansset]

J'ai calculé module de z, j'ai trouvé module de z= 1 et arg(z)=π/3 donc z=e^((pi/3)i) et donc z^(1/3)= e^((pi/9)i) ?

c'est le "donc" qui est faux ( car insuffisant )


à ne jamais oublier dans ce genre d'exercice, même sans les complexes.
à toi de voir quels sont les valeurs utiles de k ( et non redondantes ) pour ton exercice.