Homologie d'une fonction non nullhomotope.

[mcheddadi]

Bonjour,
Peut-on avoir Hn (f) =0 sans que f ; X -> y soit null-homotope ?
Des exemples ?

Merci.
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[AncMath]

Pour tout n positif ? Pour tout n strictement positif ? Pour un n particulier ?
Pour la première la réponse est non et pour les deux autres la réponse est oui.
Un exemple classique est donné par la sphère de Poincaré privée d'un point. Ses groupes d'homologies supérieurs sont nuls donc l'application identique induit le morphisme nul en homologie mais cette application n'est pas null-homotope.
La sphere de Poincaré est le quotient des rotations de l'espace euclidien de dimensions 3 par le sous groupe préservant un dodécaèdre régulier.

[mcheddadi]

Est-ce possible sans que les groupes d'homologie soient nuls ?
Exemples ?
Cordialement.

[AncMath]

Oui. C'est même assez facile de construire des exemples à partir de ce que je t'ai donné : prends la réunion disjointe où est l'espace qui te plaira, et la sphère de Poincaré privée d'un point. Prend alors où est une application constante. L'application f induit en homologie une application égale à sur pour p strictement positif, c'est a dire l'application nulle.
Mais f n'est pas null-homotope.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mcheddadi]

Bonjour,
J'ai besoin de plus d'explications svp.
1 est-il l'application identique ?
Pourquoi c* est nulle ?
J'ai plutot besoin que f* soit nulle.
Comment vous avez utilise la sphere de Poincare privee d'un point ?

Cordialement.

[AncMath]

Oui l'application identique est bien 1.
L'application est nulle car elle est constante et donc se factorise à travers l'homologie d'un point qui est nulle en degré non nul. L'application est nulle car est nulle.
J'ai utilisé la sphère de Poincaré privée d'un point dans la construction de mon espace Y, prendre la réunion disjointe de la sphère de Poincaré privé d'un point avec un espace X ne change pas l'homologie de l'espace en degré positif puisque l'homologie de la sphère de Poincaré est nulle en degré supérieur.