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Encadrement de Dusart et nombres premiers




  1. #1
    Meiosis

    Encadrement de Dusart et nombres premiers

    Bonjour,

    Depuis quelque temps je m'amuse à essayer de trouver un meilleur encadrement du nième nombre premier p(n) que celui actuellement connu qui est :



    J'ai un encadrement à proposer quand n est très grand, qui vaut ce qu'il vaut et j'aimerais avoir vos critiques/avis et les erreurs de raisonnement que j'ai pu faire s'il y en a.

    J'ai pu remarquer que c'est la borne supérieure de cet encadrement qui pose problème. En effet, alors que la borne inférieure est plutôt près du nième nombre premier, la borne supérieure en est beaucoup plus éloignée.
    J'ai donc essayé de rapprocher cette borne supérieure du nième nombre premier, quand n tend vers l'infini.

    Il faut donc diminuer la valeur de la borne supérieure, donc soustraire par quelque chose de supérieur à 0.5 mais inférieur à 1 (sinon on tombe sous la borne inférieure).
    Il faut également si possible que cette valeur dépende de n pour que ce soit intéressant, sinon on pourrait se contenter de remplacer 0.5 par 0.6 par exemple, ce qui serait peu intéressant car le modèle ne s'adapterait pas suivant n.

    Ce que j'ai essayé de faire c'est donc chercher une expression dépendant de n et remplaçant ce 0.5, qui puisse mieux approcher le nième nombre premier depuis la borne supérieure. J'ai pu obtenir quelque chose de valable jusque n=(2.10^17), l'encadrement est meilleur que celui connu. Cependant je ne peux pas tester si c'est le cas quand n tend vers l'infini.
    J'ai tracé les droites correspondant aux fonctions n.ln(n) (approximation déjà connue et imprécise), aux bornes supérieures et inférieures de l'encadrement de Dusart et à ma borne supérieure. Sur le graphique j'ai simulé jusque n=10^300 et je vois que ma borne supérieure est bien comprise entre la borne supérieure de l'encadrement de Dusart et la borne inférieure de l'encadrement de Dusart. Cela ne dit pas que le nombre que j'obtiens est bien supérieur au nième nombre premier mais au moins le modèle n'est pas invalidé.

    Voici ma borne supérieure avec le nouvel encadrement que je propose :



    Bon c'est une borne supérieure assez barbare mais voici mon raisonnement.

    Il faut soustraire par quelque chose de supérieur à 0.5 mais inférieur à 1 pour la raison évoquée ci-dessus, il faut donc que cela ne dépasse pas 1 quand n tend vers l'infini. Or on voit avec cette expression que :



    Cela va donc dépasser 1 à un moment donné.
    Cependant après simulation je m'aperçois que même quand n est gigantesque (de l'ordre de 10^(70 000 000)) cette expression donne 0.85 et des poussières. C'est pour cela que j'ai choisi de composer un grand nombre de fois ln, pour "ralentir" la progression. Et donc ça a l'air de marcher puisque pour n gigantesque on est à 0.85 à peine.

    Ce que la théorie dit c'est qu'au bout d'un n on dépassera 1 et le modèle ne sera plus valable. En réalité il ne sera plus valable avant car on passera sous le nième nombre premier, même si on est toujours au-dessus de la borne inférieure de Dusart.

    Je fais appel à vous car je ne sais pas si la borne supérieure est toujours au-dessus du nième nombre premier quand n=10^(70 000 000) par exemple. Pour cette valeur de n je sais juste que ma borne supérieure est comprise entre la borne inférieure et supérieure de Dusart. Il faudrait voir si dans le cas général ma borne supérieure est toujours au-dessus du nième nombre premier mais je n'ai aucune idée de comment le démontrer (si c'est vrai déjà).

    S'il s'avérait que ma borne supérieure soit au-dessus du nième nombre premier et approche mieux le nième nombre premier que l'encadrement de Dusart, cela serait-il potentiellement intéressant ?

    Merci et désolé du long pavé mais j'ai dû expliquer mon raisonnement. Si vous ne comprenez pas quelque chose dites-le-moi.

    PS : je précise aussi que mon encadrement ne marche pas pour les petites valeurs de n (par petites valeurs j'entends inférieures à 10^7, j'ai un peu testé le modèle avec quelques grands nombres premiers que je connais et leur n associé).

    -----

    Dernière modification par Meiosis ; 13/04/2017 à 23h48.

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  3. #2
    Meiosis

    Re : Encadrement de Dusart et nombres premiers

    Il faudrait voir si dans le cas général ma borne supérieure est toujours au-dessus du nième nombre premier mais je n'ai aucune idée de comment le démontrer (si c'est vrai déjà).*

    Pas dans le cas général mais pour ces valeurs de n gigantesques bien entendu. Car je sais qu'au bout d'un certain moment ce n'est plus valable.

  4. #3
    Meiosis

    Re : Encadrement de Dusart et nombres premiers

    Bon je viens avec de nouvelles infos.

    Comme je le pensais ma borne supérieure devient inférieure au nième nombre premier un moment donné. Donc ce n'est plus une borne supérieure mais une borne inférieure, qui reste quand même plus précise que la borne inférieure de l'encadrement déjà connu. Mais à mesure que n grandit encore plus, je soupçonne que le nombre donné s'écarte encore plus du nième nombre premier et que la borne inférieure tombe sous la borne inférieure donnée par l'encadrement connu.

    Mais j'ai pu voir que la borne inférieure est plus précise même quand Si je sors ce n ce n'est pas anodin, c'est environ le n qui correspond au dernier plus grand nombre premier découvert, qui n'est autre que (ce n a été approximé avec la fonction de compte des nombres premiers).
    C'est-à-dire que l'encadrement donné semble meilleur pour les prochains nombres premiers qu'il reste à découvrir, mais sera fatalement moins performant quand n tend vers l'infini. C'est pour cela que je pense qu'il est quand même intéressant.

    Voici un schéma qui résume le modèle, je pense qu'il se comporte comme tel.

    nombres_premiers.png

    Donc pour des plus petites valeurs de n (ce que j'ai appelé n1) ma formule donnerait une meilleure borne supérieure. Ensuite quand n grandit encore plus la borne supérieure se rapprocherait du véritable nième nombre premier (pourrait-on déterminer quand cela aurait-il lieu ?) et enfin pour des très grandes valeurs de n (comme celle que je viens de citer, de l'ordre du 10^(11 millions)) la borne deviendrait une borne inférieure car passant sous le nième nombre premier, mais cette borne inférieure serait plus performante que la borne inférieure donnée par l'encadrement connu puisque plus proche du nième nombre premier.

    Ensuite quand n grandit et tend vers l'infini le modèle n'est plus viable car la borne inférieure passera sous la borne inférieure donnée par l'encadrement de Dusart.

    Qu'en pensez-vous ?
    Dernière modification par Meiosis ; 14/04/2017 à 11h37.


  5. #4
    Meiosis

    Re : Encadrement de Dusart et nombres premiers

    Personne ?

  6. #5
    gg0

    Re : Encadrement de Dusart et nombres premiers

    Que veux-tu qu'on en dise ?
    Tu proposes une formule sans être capable de la justifier. Des formules, il y en a des milliards, pourquoi ferait-on quoi que ce soit de celle-ci ?
    Donc soit tu as une justification sérieuse, même incomplète, et tu la donnes (ça a l'air de marcher pour les petits nombres n'est pas une justification sérieuse, d'autant qu'il y a des logiciels gratuits pour calculer avec des grands nombres). En termes mathématiques clairs. Soit personne n'ira perdre du temps avec ça.

    Désolé !

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Meiosis

    Re : Encadrement de Dusart et nombres premiers

    Que veux-tu qu'on en dise ?
    Analyser le raisonnement que j'ai exposé et me dire ce qui ne va pas si c'est le cas.
    Bien entendu je ne prétends pas avoir LA formule magique (on ne sait même pas si elle existe) mais UNE des formules possibles, comme tu le dis il y en a des milliards mais c'est surtout le raisonnement que j'ai exposé pour en arriver là que j'aimerais que vous commentiez.

    Tu proposes une formule sans être capable de la justifier.
    Si tu parles des chiffres choisis comme 62993 ou 330582 c'est tout simplement ceux qui faisaient le mieux marcher mon modèle, après plusieurs simulations, des constantes quoi.
    Il y a peut-être mieux mais ça fait partie des réponses que j'attends justement.
    Pour le reste de la formule je ne suis pas d'accord, ça a été justifié (peut-être pas en rédaction mathématique, voir la fin de ma réponse) mais je pense l'avoir justifié. Notamment la composition des logarithmes et le reste c'est tout simplement le début de l'encadrement de Dusart.

    ça a l'air de marcher pour les petits nombres n'est pas une justification sérieuse, d'autant qu'il y a des logiciels gratuits pour calculer avec des grands nombres
    C'est le contraire que j'ai énoncé, ça ne marche pas pour les petites valeurs de n et le modèle devient intéressant pour les valeurs de n gigantesques et redevient inintéressant quand n grandit encore plus. Pour résumer en très gros.
    Sinon as-tu un lien pour ces logiciels ? Je serais curieux de voir comment ils fonctionnent, quelles formules ils utilisent etc.

    PS : je précise que je n'ai pas de formation mathématique (du supérieur j'entends), mon niveau est donc celui de la terminale S et je peux comprendre que sans rédaction mathématique habituelle ça puisse repousser certaines personnes. J'ai donc écrit avec des phrases plus qu'avec des symboles mais c'est le raisonnement pour arriver à mon modèle qui doit être critiqué.

    J'espère avoir été plus clair sur mes intentions.
    Dernière modification par Meiosis ; 16/04/2017 à 00h10.

  9. #7
    Médiat

    Re : Encadrement de Dusart et nombres premiers

    Bonjour,

    La mauvaise nouvelle c'est qu'une formule qui marche de temps en temps est de peu d'intérêt (et aucun pour les mathématiciens).

    De plus il n'y a pas la moindre trace de démonstration dans vos posts ...

    Continuez de travaillez sur le sujet, mais sachez que des tests sur ordinateurs peuvent vous donner une indication, ou un contrexemple, mais pas une démonstration
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  10. Publicité
  11. #8
    gg0

    Re : Encadrement de Dusart et nombres premiers

    Avec un niveau terminale, on peut apprendre l'arithmétique (il y a des bouquins) et chercher à faire des preuves. Pas des phrases floues. Sinon, tu fais comme celui qui prétend jouer au foot, mais ne veut pas de ballon. Et donc (comme tu le dis si bien au début) tu joues avec des nombres. Mais il n'y a pas de raison que ton jeu intéresse des matheux, qui ont un autre jeu : Prouver.
    Il y a des centaines de messages comme le tien, à propos d'arithmétique (ça semble plus facile à ceux qui ne se forment pas en mathématiques), en 15 ans de fréquentation de différents forums, je n'ai vu qu'un cas utile, qui n'apporte pas grand chose à la discipline, mais qui a été transformé (grâce à un chercheur en maths) en un petit théorème. Tous les autres tournent à vide.

    Pour les logiciels, fais une recherche sur Internet sur le thème "calcul formel", ou "calcul exact avec de grands nombres". En gratuits, je pense à Xcas, Maxima et dans ceux que je n'ai pas regardé, il me semble que Pari-GP serait aussi très adapté.

    Cordialement.

  12. #9
    Meiosis

    Re : Encadrement de Dusart et nombres premiers

    Bonjour,

    La mauvaise nouvelle c'est qu'une formule qui marche de temps en temps est de peu d'intérêt (et aucun pour les mathématiciens).
    Cela marche pour des valeurs de n qui correspondent aux grands nombres premiers qu'il reste à découvrir (la borne inférieure est plus précise), j'aimerais donc comprendre pourquoi cela n'a pas d'intérêt.

    De plus il n'y a pas la moindre trace de démonstration dans vos posts ...
    Exactement, c'est juste une sorte d'intuition qui a été renforcée avec plusieurs simulations.
    Si une démonstration existe j'aimerais savoir comment faire (avoir une piste), en particulier cela pourrait peut-être donner la valeur de n pour laquelle ma formule croise le nième nombre premier (quand la borne supérieure devient la borne inférieure). Puisque j'ai un grand soupçon que mon modèle se comporte ainsi, comme déjà énoncé.

    @gg0 : merci pour le nom des logiciels.

  13. #10
    jacknicklaus

    Re : Encadrement de Dusart et nombres premiers

    Citation Envoyé par Meiosis Voir le message
    Si une démonstration existe j'aimerais savoir comment faire (avoir une piste.

    Par exemple, la thèse de Dusart : http://www.unilim.fr/laco/theses/1998/T1998_01.pdf

    Tu pourras constater qu'il y a un gouffre entre jouer avec des formules "qui semblent marcher" , et démontrer un résultat mathématique.
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

  14. #11
    Meiosis

    Comment démontrer ce résultat mathématique ?

    Bonjour,

    J'aimerais avoir une piste pour démontrer cet encadrement dérivé de celui de Dusart. p(n) désigne le n-ième nombre premier.



    Pour n > 1152

    Merci.

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