matrice de trace nulle

[kizakoo]

Bonsoir, voici un exo classique:
Soit A de Mn(K) montrer que tr(A)=0 <=> il existe U et V de Mn(K) , A=UV-VU

Montrons la directe, la réciproque étant facile.

On suppose le résultat: Toute matrice de trace nulle est semblable a une matrice de diagonale nulle.
On considère l application f : M------> MD-DM où D est une diagonale de coefficients (1,2,....n)
.... On montre finalement que Imf=les matrices diagonales de coefficients nuls.
Comme A est semblable à une diagonale de coefficients nuls qu on nomme N on a N= MD-DM d'où:
A=P(MD-DM)P^-1= PMDP^-1 -PDMP^-1
Mais ns sommes toujours loin de l expression demandée et pourtant c'est la résolution "classique" de l exo
Une aide?
Merci
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[invite9dc7b526]

bonjour,

je vois un petit problème dans ton début de preuve: tu supposes que 1,2,...,n sont dans K, ce qui n'est pas dit dans l'énoncé.

[invite6710ed20]

Bonjour

Je note Q=P^(-1)

Soit A=Q B P , où tr(A)=0 et B à diagonale nulle.

si tu as montré qu'il existe U,V, tq B=U V - VU

alors (QUP) (Q VP)-(Q VP)(QUP)=QUVP-QVUP=Q(UV-VU)P=QBP=A
donne le résultat